労働市場論（サーチ・モデル）補論３

割賦価値

この補論では、「現在価値 (Present value)」と「割賦価値 (Annuity value)」の関係について説明します。宝くじの当選金や退職金は、一括して受け取るか、毎年定額ずつもらい続けるか選べたりします。選べるのは、どちらの選択肢でもトータルの価値としては同じだからです。現在価値と割賦価値の関係はこれと似ています。今回は、割引率が $r$ で表される単純な場合で、現在価値と割賦価値の関係を導きます。

まずは現在価値です。毎期 $d$ 円もらえるとして、割引率（金利）が $r$ だとすると、現在価値 $Q$ は

$\begin{eqnarray*}Q = d + \frac{d}{1+r} + \frac{d}{(1+r)^2} + \frac{d}{(1+r)^3} + \cdots \end{eqnarray*}$

と定義されます。将来のペイオフを割り引いて求めるので、割引現在価値とも呼ばれます。

ここで、「等比数列の和」の計算を実行すると

$\begin{eqnarray*}Q = \frac{1+r}{r} d\end{eqnarray*}$

です。。例えば $d=10$ 万円で $r=0.05$ なら、 $Q=210$ 万円となります。これから毎期ずっと $d$ 円もらうことの現在価値は、 $\frac{1+r}{r}d$ 円だということです。

次は割賦価値です。割賦価値は、（一括で受け取る代わりに）毎期定額ずつ受け取るならいくらか、を表します。上の式を変形すると、今一括で $Q$ 円もらうことの割賦価値は、

$\begin{eqnarray*}d = \frac{r}{1+r} Q\end{eqnarray*}$

となります。例えば $Q=200$ 万円で $r=0.05$ なら、 $d=9.52$ 万円となります。今一括で $Q$ 円もらうことは、これから毎期 $\frac{r}{1+r}Q$ 円もらうことと同等だという意味です。

現在価値と割賦価値の関係を押さえ、自在に行き来できるようにしておきましょう。