労働市場論（サーチ・モデル）（４）

失業率の変遷式

前回の舞台設定を踏まえ、これからサーチ・モデルの方程式を１つずつ解説します。今回は１本目、「失業率の変遷式」と呼ばれる式です。

時間が $t=$ 1，2，3， $\dots$ と流れていきます。前回も述べたように、（就業者と失業者を合わせた）労働者の人口を1に基準化します。そして、 $t$ 時点での失業者の数を $u_t$ とおきます（ $u$ はunemployedの頭文字）。すなわち

失業者の数： $u_t$
就業者の数： $1-u_t$

です。労働者人口を１とすると便利なのは、 $u_t$ が失業者数と失業率の両方を表せることです。例えば人口が1万人で、 $u_t=0.05$ なら、失業者数は0.05万人で、失業率は $0.05$ です。（就業者数は0.95万人、就業率は0.95となります。）

時点 $t$ で起こることは以下の通りです。まず、 $u_t$ 人の失業者たちは、それぞれ確率 $p$ でジョブを見つけて就業者となるか、確率 $1-p$ で見つけられないかです。したがって、失業者の中でジョブを見つけられない人の数の期待値は $(1-p)u_t$ ということになります。

一方、 $(1-u_t)$ 人の就業者たちは、それぞれ確率 $\delta$ でジョブを失うか、確率 $1-\delta$ でジョブを維持するかです。よって、ジョブを失う人の数の期待値は $\delta (1-u_t)$ 人です。

両者を合計します。というのも、次期 $t+1$ 時点の失業者の数 $u_{t+1}$ は、「前から失業している人たち」と「 $t$ 時点でジョブを失ってしまった人たち」の和なので、期待値では

$\begin{eqnarray*}u_{t+1} = (1-p)u_t + \delta (1-u_t)\end{eqnarray*}$

が成り立ちます。これが失業者数や失業率の変遷を記述した式です。(*注）

最後に、定常状態における失業率を求めましょう。定常状態 (steady state) とは、「今期がこの値なら、次期もその値にとどまる」という値のことです。失業率は、いずれ定常状態に落ち着きます。

定常状態の失業率を $u$ と置きましょう。「今期がこの値なら、次期もその値」ということなので、 $u_{t+1}$ と $u_t$ の双方に $u$ を代入すれば、定常状態の失業率は

$\begin{eqnarray*}u = (1-p)u + \delta (1-u)\end{eqnarray*}$

という式を満たすことが分かります。これがサーチ・モデルの連立方程式の１つめの式です。少し変形すると、 $u = \frac{\delta}{p+\delta}$ です。ここで、 $p$ はジョブを見つける確率、 $\delta$ はジョブを失う確率ですから、前者が相対的に大きければ、定常状態での失業率は低くなると分かります。

次の式を説明するための準備として、次回は「マッチング関数」を説明します。

>> 労働市場論（サーチ・モデル）（５）マッチング関数

(*注）本来この式は期待値を表した式です。実際の人数は期待値通りになるとは限りませんが、マクロ経済学のモデルでは、「人間がたくさんいる」という “連続主体の仮定” というのを置いて、実際の人数も期待値通りになるとみなします。