ポートフォリオのリターンの標準偏差2 「証券がn個の場合」
今度は、n個の株式のポートフォリオのリターンの標準偏差を求めます。n個の銘柄のリターンをそれぞれ,
,
,
とおきましょう。確率変数がn個あることになります。「個別銘柄の情報(リスク)」で説明した通り、この場合のリスクの情報は「分散共分散行列」で与えられます。
n個の銘柄それぞれのポートフォリオ・ウェイトを とおきます。ウェイトは確率変数ではなく、投資家が好きなように決めるものです。ウェイトを決めれば、ポートフォリオのリターンは
で表されます。これの分散を計算するには、「行列で表した分散公式」が便利です。
結論だけ言うと、n個のリターンの「分散共分散行列」を で表すとき、
の分散は、
という行列のかけ算に等しくなります。ここで、
はウェイトを横一列に並べたもの、
は縦一列に並べたものです。標準偏差は分散の平方根なので、
となります。
練習してみてください。3つの企業の株式があるとします。それぞれのリターンを ,
,
と表します。分散はそれぞれ Var(
)=131,Var(
)=58,Var(
)=24 だとします。また、共分散は Cov(
,
)=46,Cov(
,
)=27,Cov(
,
)=15 だとします。今、この3つの株式にそれぞれ 20%,50%,30%の資金を投資したポートフォリオを作ったとします。このとき、ポートフォリオのリターン
の分散はいくつになるか、という問題です。(問題と答えはこちら)
次回はさまざまなポートフォリオ(つまり )に関してリターンの標準偏差と期待値を計算し、横軸に標準偏差、縦軸に期待値を取った散布図を作ります。
>> 平均分散分析(8)リスク・リターン・フロンティア2 「証券がn個の場合」