労働市場論（サーチ・モデル）（６）

「ジョブを見つける確率」と「ジョブが埋まる確率」

今回は２つの確率を定義し、サーチ・モデルの連立方程式の２～４番目の式を導出します。

失業者が１期間のあいだに就業できる確率を $p$ と置きます。例えば、もし100人のうち40人がジョブを見つけられるなら $p$ は0.4です。 $p$ は「ジョブを見つける確率 (Job-finding probability)」と呼ばれます。

一方、欠員状態のジョブ（求人中のジョブ）が１期間のあいだに労働者とマッチできる確率を $q$ と置きます。もし100個のジョブのうち、20個が労働者とマッチできるなら、 $q$ は0.2です。 $q$ は「ジョブが埋まる確率 (Job-filling probability)」と呼ばれます。

今回は、この $p$ と $q$ を、前回紹介したマッチング関数から導出します。マッチング関数の仮定により、失業者の数が $u$ ，求人中のジョブの数が $v$ のとき、１期間中にマッチする労働者とジョブのペアの数は $M(u, v)$ です。このとき「ジョブを見つける確率」 $p$ はいくつでしょうか。

失業者 $u$ 人のうち $M(u, v)$ 人がジョブとマッチするので、マッチできる人の割合である $M(u, v)/u$ が「ジョブを見つける確率」です。シミュレーションのためには $M(u, v)$ を具体的に仮定する必要があるので、マクロ経済学でよく用いられるコブ・ダグラス型関数（ $M(u,v)=z u^{1-\alpha} v^{\alpha}$ ）を使うことにします。そうすると、

$\begin{eqnarray*}p &=& M(u,v)/u \\\\&=& \frac{z u^{1-\alpha} v^{\alpha}}{u}\\\\&=& z \left(\frac{v}{u}\right)^\alpha\end{eqnarray*}$

となります。

次に、「ジョブが埋まる確率」 $q$ を考えましょう。 $v$ 個のジョブのうち、 $M(u,v)$ がマッチするわけですから、ジョブが埋まる確率は $M(u,v)/v$ です。コブ・ダグラス型のマッチング関数の場合には

$\begin{eqnarray*}q &=& M(u,v)/v \\\\&=& \frac{z u^{1-\alpha} v^{\alpha}}{v}\\\\&=& z \left(\frac{v}{u}\right)^{\alpha-1}\end{eqnarray*}$

となります。

「ジョブを見つける確率」も「ジョブが埋まる確率」も、 $v/u$ の関数となっています。 $v/u$ は求人数を求職者数で割ったもので、有効求人倍率（＝求職者ひとりあたり何件の求人があるか）に相当します。 $0<\alpha <1$ なので、 $p$ は $v/u$ の増加関数、 $q$ は $v/u$ の減少関数です。有効求人倍率が上がると、労働者の方はジョブを見つけやすくなりますが、企業の方は人を見つけにくくなるというわけです。これは私たちの直観と合致しており、マッチング関数は現実をうまくモデル化していると言えます。

有効求人倍率 $v/u$ を改めて $\theta$ と置くことにしましょう。すると

$\begin{eqnarray*}\theta &=& v/u\\p &=& z \theta^\alpha\\q &=& z \theta^{\alpha-1}\end{eqnarray*}$

となります。これがイントロで示した10本の式のうちの3本です。

次回は「労働者の生涯所得」と「ジョブの現在価値」を考えます。

>> 労働市場論（サーチ・モデル）（７）「労働者の生涯所得」と「ジョブの現在価値」