ポートフォリオ最適化2(定式化編)
今回は、ランダムにポートフォリオを作るのではなく、ポートフォリオを選択する問題です。n種類の証券を組み合わせて、自分にとって最適なポートフォリオを選ぶ投資家の問題を、定式化してみましょう。
n個の証券の期待リターンは で、分散共分散行列は
で与えられているとします。
と
は所与であり、投資家がどうこうすることはできません。投資家が決められるのは、各証券のウェイト
です。
ポートフォリオの最適化の問題には何種類かあります。
1.分散の最小化
まずはポートフォリオのリスクたる分散を最小化する問題です。min は「最小化」の意味で、その右側に書かれた分散が最小化のターゲット(目的関数)です。また、minの下方に書かれた
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制約は「s.t. 」に続けて書く決まりです。s.t. は subject to… (~の制約下で)の頭文字です。1つめの制約式「
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2.期待リターンの最大化
許容できるリスクを設定し、ポートフォリオの期待リターンを最大化する問題です。1つめの制約式「
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3.期待リターンとリスクのバランスを取る
今度はポートフォリオのリターンの期待値とリスクをくっつけたものを最大化します。期待値は嬉しいもの、分散は嫌なものなので、分散の前にはマイナスの符号が付いています。ここでも
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4.空売り制限
ここまで、
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![Rendered by QuickLaTeX.com w \geq 0](https://blog-study-economics.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-8a5cd4b45e70ca9bfb0c3ba9595c4ef8_l3.png)
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となります。
これらの問題は、複雑に見えますが、数学的には所詮「二次式」です。例えば1つめの問題を見てみると、制約式は
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しかし、解析解を求めるのは後々の上級コースに取っておいて、次回はエクセルのソルバーを用い、数値的にポートフォリオ最適化問題を解いてみることにましょう。
>> 平均分散分析(11)ポートフォリオ最適化3(ソルバー編)