確率分布（離散型）（７） | 午後はカフェで経済学

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二項分布の期待値，分散，標準偏差

今回は二項分布の期待値、分散、標準偏差を求めます。

今、 $Y$ がパラメータ $(N,p)$ の二項分布に従う確率変数であるとします。復習すると、このとき $Y$ は「確率 $p$ で事象Aが起こるベルヌーイ試行を $N$ 回行ったときにAが起こる回数」です。Aの解釈は「成功」「当たり」「陽性」など何でも構いません。 $Y$ の実現値は0から $N$ のいずれかです。 $Y$ の期待値や分散はいくつになるでしょうか。

これを求めるテクニックは次の通りです。今、 $X_1$ を１回目の結果、 $X_2$ を２回目の結果、 $X_3$ を3回目の結果… としましょう。いずれも、Aが起これば1、起こらなければ0です。 $Y$ は「 $N$ 回のうち何回Aが起こるか」なので、

$\begin{eqnarray*}Y = X_1 + X_2 + \cdots + X_N\end{eqnarray*}$

と表せます。各 $X_i$ （ $i=1,2,\cdots, N$ ）はベルヌーイ分布です。

これを利用すれば、 $Y$ の期待値は（上の式の両辺の期待値を取れば）

$\begin{eqnarray*}E[Y] &=& E[X_1 + X_2 + \cdots + X_N]\\&=& E[X_1] + E[X_2] + \cdots + E[X_N]\\&=& p + p + \cdots + p\\&=& Np\end{eqnarray*}$

と求まります。２つめのイコールは「線形結合の期待値」の公式、３つめのイコールはベルヌーイ分布の期待値が $p$ であること（ $E[X_i]=p$ ）を用いています。この結果（ $E[Y] = Np$ ）は直観的です。確率0.36で天使シールが出るビックリマンチョコを100個買ったら、当たる天使シールの数の期待値は36枚だと言っているのです。

他方の分散を求めるには分散公式（係数が全て1の場合）を用います。

$\begin{eqnarray*}\mbox{Var}[Y] &=& \mbox{Var}[X_1 + X_2 + \cdots + X_N]\\&=& \sum^N_{i=1} \mbox{Var}[X_i] + \sum_{i<j} 2\mbox{Cov}(X_i, X_j)\\&=& Np(1-p)\end{eqnarray*}$

２つめのイコールが分散公式です。最後のイコールは、

(i) ベルヌーイ分布の分散は $\mbox{Var}[X_i]=p(1-p)$
(ii) ベルヌーイ試行の結果は互いに独立なので、共分散は全て0

を用いています。標準偏差は分散の平方根なので $\sqrt{Np(1-p)}$ です。確率0.36で天使シールが出るビックリマンチョコを100個買う例では、当たる天使シールの標準偏差は $\sqrt{100\cdot 0.36\cdot (1-0.36)} = 4.8$ 枚となります。

このように、二項分布の期待値、分散、標準偏差は、「二項分布にしたがう確率変数が、ベルヌーイ分布に従う確率変数の和であること」に気づけば、簡単に求めることができます。

次回は二項分布から派生する分布の例を紹介したいと思います。

今日のポイント
二項分布は、ベルヌーイ分布の和であることを利用して期待値・分散を求める。

>> 確率分布（離散型）（８）二項分布の派生分布