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ポアソン分布（１）ポアソン分布の作り方


今日から「ポアソン分布」を勉強します。ポアソン分布が使われるのは、たとえば「一日に起こる交通事故の件数」の確率分布をモデル化するときです。ですが、ポアソン分布がどんな場面で使われるかという話は次回にまわし、今回はポアソン分布の作り方（求め方）から説明したいと思います。


ポアソン分布を求めるには、オイラー数 e=2.71828\cdots に関する以下の公式を使います。\lambda は任意の正の実数です。

    \begin{eqnarray*}e^\lambda &=& \frac{\lambda^0}{0!} + \frac{\lambda^1}{1!} + \frac{\lambda^2}{2!} + \frac{\lambda^3}{3!} + \cdots + \frac{\lambda^k}{k!} + \cdots\end{eqnarray*}


（0!=1 です。）ここで、両辺を e^{\lambda} で割れば

    \begin{eqnarray*}1 = \frac{\lambda^0e^{-\lambda}}{0!} + \frac{\lambda^1e^{-\lambda}}{1!} + \frac{\lambda^2e^{-\lambda}}{2!} + \frac{\lambda^3e^{-\lambda}}{3!} + \cdots + \frac{\lambda^ke^{-\lambda}}{k!} + \cdots \end{eqnarray*}



右辺には無限個の項がありますが、これらは全て正の値で、しかも和が１になっています。そこで今、右辺の１つ１つの項を確率に見立て、各整数 k \in \{0, 1, 2, 3, \cdots\} が確率 \frac{\lambda^ke^{-\lambda}}{k!} で実現するという確率分布を考えましょう。これが「ポアソン分布 (Poisson distribution)」です。


\lambda がポアソン分布のパラメータです。\lambda の値が大きいポアソン分布ほど、大きな数が出る確率が高くなります。\lambda=1 であれば、ポアソン分布は

\frac{1}{0!e}=0.3679 の確率で0
\frac{1}{1!e}=0.3679 の確率で1
\frac{1}{2!e}=0.1839 の確率で2
\frac{1}{3!e}=0.0613 の確率で3
　　　　\vdots
となります。


式は複雑に見えますが、「k が実現値」「\lambda がパラメータ」「e は単に2.718という数」を意識することがポイントです。次回はこのポアソン分布がどのような場面で用いられるのかを説明します。

>> 確率分布（離散型）（１４）ポアソン分布（２）どんな場面で使うか