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ポアソン分布（２）どんな場面で使うか


ポアソン分布がモデル化するのは「互いに独立な無数のリスクのうち、一定時間内に顕在化する数」です。「無数に」という所がポイントで、例えば「明日一日の間に東京都内で起こる交通事故の件数」や「蚊がうようよしているやぶの中を５分間歩いたときに何回蚊に刺されるか」がこれに当たります。


1000匹の蚊が飛んでいるやぶを通り抜けることを考えましょう。一匹一匹があなたを刺す確率はそれぞれ0.002（0.2％）だとします。特定の蚊に刺される確率は微小ですが、何しろ1000匹もいるので、全く刺されずに済むのは難しそうです。あなたは何匹の蚊に刺されるでしょうか。


この状況は、すでに勉強した二項分布でモデル化できます。一匹一匹の蚊が刺すかどうかがベルヌーイ試行であると仮定すれば、蚊に刺される数は「N=1000（飛んでいる蚊の数）, p=0.002（特定の蚊に刺される確率）の二項分布」です。期待値は pN=2 匹ですから、平均的には２匹の蚊に刺されることになります。


このように二項分布でモデル化できるのですが、代わりにポアソン分布も使える、というのが今日の要点です。二項分布の代わりにポアソン分布を用いる場合、ポアソン分布のパラメータ \lambda の値は、pN に設定します。以下では、N=1000，p=0.002 の二項分布と、\lambda=2 のポアソン分布で、0, 1, 2, 3，… が実現する確率を比較してみましょう。




二項分布とポアソン分布とで、確率がほとんど同じであることが分かるでしょう。ほとんど同じになるのは、この例のように N がとても大きくて、逆に p はとても小さい状況です。そのような状況では、どちらの確率分布を用いても、確率はあまり変わりません。それでも、どちらかと言えばポアソン分布の方が好まれます。パラメータが１つで済みますし、蚊が何匹いるのかが曖昧でも済むからです。


二項分布で N をどんどん大きくすると同時に、p をどんどん小さくすると、ポアソン分布に近づいていくことは、数学的にも示せます。

二項分布で k が実現する確率は _NC_k p^k(1-p)^{N-k}
ポアソン分布で k が実現する確率は \frac{\lambda^ke^{-\lambda}}{k!}

でした。前者において、Np が一定値 \lambda になるように保ったまま、N を大きく（したがって p は小さく）して行くと後者に近づいていくことが示せるのです。証明を補論に示しますので、ぜひ挑戦してください。

まとめ
N が大きく、p が小さい二項分布は、ほぼポアソン分布であり、代わりにポアソン分布を使う方が好まれる。



次回はポアソン分布の期待値を計算します。

>> 確率分布（離散型）（１５）ポアソン分布（３）期待値と分散


補論：二項分布がポアソン分布に収束することの証明

二項分布で k が実現する確率を見てみましょう。まず、組み合わせの記号を階乗で表すと _NC_k=\frac{N!}{k!(N-k)!} です。また、 Np=\lambda を用いれば p は消去できます。すると

    \begin{eqnarray*}_NC_k \; p^k(1-p)^{N-k} &=& \frac{N!}{k!(N-k)!} \left(\frac{\lambda}{N}\right)^k \left(1- \frac{\lambda}{N}\right)^{N-k}\\&=& \frac{N!}{k!(N-k)!} \cdot\frac{\lambda^k}{N^k} \left(1+ \frac{-\lambda}{N}\right)^{N-k}\\&=& \frac{\lambda^k}{k!}\cdot \frac{N!}{N^k (N-k)!} \left(\left(1+ \frac{-\lambda}{N}\right)^{N}\right)^{\frac{N-k}{N}}\end{eqnarray*}


ここで

    \begin{eqnarray*}\frac{N!}{N^k (N-k)!} &=& \frac{N(N-1)(N-2)\cdots (N-k+1)}{N^k}\\ &=& \frac{N}{N} \cdot \frac{(N-1)}{N} \cdots \frac{(N-k+1)}{N} \end{eqnarray*}


で、これは N の値が大きくなると（k の値は固定なので）1に収束します。したがって


となり、ポアソン分布で k が実現する確率に近づくことが示ました。\left(1+\frac{-\lambda}{N}\right)^N \rightarrow e^{-\lambda} に関してはオイラー数に関する項を復習してください。