確率分布（離散型）（６）

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二項分布　例２

前回は「二項分布」の例として $N=2$ の例を見ました。今日は $N=3$ の例を見てみましょう。

子供たちに人気のお菓子「ビックリマンチョコ」を１個買うと、確率 $p$ で「天使シール」が、確率 $1-p$ で悪魔シールが入っています。子供たちのお目当ては天使シールです。このお菓子を３個買ったときに、手に入る天使シールの枚数を $X$ とおきましょう。 $X$ の実現値は、0，1，2，3のいずれかですが、それぞれの確率はいくつでしょうか。

$X=3$ （３個とも天使シール）の確率は $p^3$ です。 $X=0$ （３個とも悪魔シール）の確率は $(1-p)^3$ です。ここまでは簡単ですね。では $X=2$ （２個が天使シール）の確率はいくつでしょうか。

$X=2$ のシナリオは３つあります。（悪魔，天使，天使）（天使，悪魔，天使）（天使，天使，悪魔）の３つです。１個目だけが悪魔シールである確率は $(1-p) \times p \times p$ です。２個目だけが悪魔シールである確率は $p \times (1-p) \times p$ ，３個目だけが悪魔シールである確率は $p \times p \times (1-p)$ 。計算するとどのシナリオの確率も同じ $p^2(1-p)$ です。よって求める確率は $3 p^2(1-p)$ となります。

あとで応用がきくよう、この考え方を図で表して理解を深めましょう。（図では「天使シール」を「成功」と呼んでいます。）

左上から出発し、試行の度に、成功したら下へ、失敗したらまっすぐ右へ進むとします。たとえば、赤線でなぞられているのは（失敗、成功、成功）というシナリオです。2回成功する確率を求めるためには、「2回成功するシナリオが何通りあるか」と「各シナリオの確率はいくつか」を考えます。2回成功するシナリオは $_3C_2$ 通りあり、１つ１つの確率は $p^2(1-p)^1$ なので、両者の積 $_3C_2 p^2(1-p)^1$ が求める確率というわけです。

一般に $N$ 回のうち $k$ 回成功するというシナリオは $_NC_k$ （ $N$ 個から $k$ 個選ぶ組合せ）通りあり、各シナリオの確率は $p^k(1-p)^{N-k}$ です（なぜなら $k$ 回成功、 $N-k$ 回失敗だから）。よって、ちょうど $k$ 回成功する確率は $_NC_k\; p^k(1-p)^{N-k}$ となります。

エクセルで確率を計算

二項分布に関する確率は、エクセルのBINOM.DIST関数を使って簡単に求めることができます。

この関数の引き数は４つで、順に「成功回数 $k$ 」「試行回数(size) $N$ 」「成功確率(prob) $p$ 」「累積確率か否か（後述）」です。例えばコインを３回投げるときに、裏がちょうど0回、1回、2回出る確率はそれぞれ

= BINOM.DIST(0, size=3, prob=0.5, FALSE)
= BINOM.DIST(1, size=3, prob=0.5, FALSE)
= BINOM.DIST(2, size=3, prob=0.5, FALSE)

です。

成功回数が「ちょうど◯回である確率」ならば最後の引き数はFALSEにしますが、「◯回以下である確率」の場合はTRUEにします。これは「累積確率」と呼ばれています。たとえば、コインを３回投げたときに裏が「２回以下」（つまり0回または1回または2回）である確率は

= BINOM.DIST(2, size=3, prob=0.5, TRUE)

です。エクセルでこの関数を実際に使ってみながら、5枚も10枚もコインを投げた場合の確率分布を求めてみてください。

次回は、二項分布の期待値と分散がどうなるかを説明します。

今日のポイント
パラメータが $(N, p)$ の二項分布で実現値が $k$ となる確率は、 $_NC_k\; p^k(1-p)^{N-k}$ である。

>> 確率分布（離散型）（７）二項分布の期待値，分散，標準偏差

二項分布 例２

エクセルで確率を計算

二項分布　例２