確率分布（離散型）（３） | 午後はカフェで経済学

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ベルヌーイ分布以外の「二者択一」分布

ベルヌーイ分布は「0か1か」の二者択一の確率分布です。一方、100万円もらえるか失うかの賭けは「100か、 $-100$ か」であって「0か1か」ではないので、厳密にはベルヌーイ分布ではありません。しかし、このような二者択一の確率変数の期待値や分散は、ベルヌーイ分布の期待値や分散を利用することで、簡単に求めることができます。それをこれから説明しましょう。今、

確率 $p$ で $a$
確率 $1-p$ で $b$

が実現する確率分布を考えましょう。そのような分布にしたがう確率変数を $Y$ ，ベルヌーイ分布にしたがう確率変数を $X$ と表すことにします。以下の表は $X$ と $Y$ の関係をまとめています。

ベルヌーイ分布の期待値と分散は、前回求めたように $E[X]=p$ ， $\mbox{Var}[X]=p(1-p)$ です。では $Y$ の期待値と分散はどうなるでしょうか。ここで有用となるのは、上述の $Y$ が $X$ の式で表せるという事実です。その式は $Y=(a-b)X+b$ というものです。 $X=1$ のときに $Y=a$ で、 $X=0$ のときに $Y=b$ だからです。

この事実を用いて、 $Y$ の期待値、分散、標準偏差を求めましょう。まず期待値は

$\begin{eqnarray*}E[Y] &=& E[(a-b)X+b]\\&=& (a-b)E[X] + b\\&=& (a-b)p + b \\&=& pa + (1-p)b\end{eqnarray*}$

１つめのイコールは $Y=(a-b)X+b$ を代入しています。２つめのイコールは「線形結合の期待値の公式」を使っています。３つめのイコールはベルヌーイ分布の期待値が $p$ であることを用いています。

分散は、分散公式を用いれば

$\begin{eqnarray*}\mbox{Var}[(a-b)X+b] &=& \mbox{Var}[(a-b)X]\\&=& (a-b)^2\mbox{Var}[X]\\&=& (a-b)^2 p(1-p)\end{eqnarray*}$

です。１つめのイコールは、「定数項は分散には無関係」という事実を用いています。２つめのイコールは係数が２乗して分散の外に出ることを用いています。３つめのイコールは、ベルヌーイ分布の分散が $p(1-p)$ であることを用いています。

標準偏差は分散の平方根ですから、 $|a-b|\sqrt{p(1-p)}$ となります。２つの実現値 $a$ と $b$ の差が開くほど、標準偏差も大きくなることが分かります。

ここまで、離散型の確率分布の代表例の１つめ「ベルヌーイ分布」とその派生形を勉強してきました。次回は「ベルヌーイ試行」の概念を知り、離散型の確率分布の２つめ「二項分布」に進みましょう。

今日のポイント
$a$ か $b$ かという二者択一の分布の期待値と分散は、ベルヌーイ分布の期待値と分散を利用して求めることができる。

>> 確率分布（離散型）（４）ベルヌーイ試行