>> 序,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18
幾何分布の期待値
幾何分布の期待値を計算しましょう。期待値は、対応する実現値と確率の積の和でした。すなわち
![Rendered by QuickLaTeX.com (1-q)](https://blog-study-economics.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-8539d525e1cbaaf063404e155f31fa01_l3.png)
です。{ } の中は、等差数列
![Rendered by QuickLaTeX.com 1, 2,3, \cdots](https://blog-study-economics.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-c169b5618ca5d01a5d5e62de3a33c8e9_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com q, q^2, q^3, \cdots](https://blog-study-economics.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-7bd4eacde6aa1781dcdf23d9f5547e72_l3.png)
と表したうえで、この両辺に
![Rendered by QuickLaTeX.com q](https://blog-study-economics.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-24bd62cca39637dec8fe55fbb567e5ef_l3.png)
を辺々引くというものです。すると
というふうに、右辺は初項が
![Rendered by QuickLaTeX.com q](https://blog-study-economics.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-24bd62cca39637dec8fe55fbb567e5ef_l3.png)
これより、
![Rendered by QuickLaTeX.com S= q/(1-q)^2](https://blog-study-economics.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-7a0ead84b20980ed252184cafba6da22_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com E[X] = q/(1-q)](https://blog-study-economics.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-47402c16ae9ea9e33bde33c43ccbd6f9_l3.png)
分散の計算は少し複雑なので、補論にしたいと思います。次回は確率のモデル化という話です。
>> 確率分布(離散型)(12)確率のモデル化
注1:
教科書によっては と表しているため、期待値の “公式” が
となっていますが、これは単なる表記の違いです。
補論:幾何分布の分散
分散を計算するには の公式を使うべく、
の期待値を求める。すなわち
確率 で
確率 で
確率 で
確率 で
確率 で
という分布の期待値である。これは
となるので
を求める必要がある。ここから
を辺々引けば
よって
![Rendered by QuickLaTeX.com E[X^2]=(1-q)T=\frac{2q}{(1-q)^2} - \frac{q}{1-q}](https://blog-study-economics.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-f8acc02293d87e3e7e32c0d13469db26_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com E[X]=q/(1-q)](https://blog-study-economics.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-e15d7bcac48404944d79d8ed9f487edb_l3.png)
となる。(教科書によっては
![Rendered by QuickLaTeX.com p\equiv 1-q](https://blog-study-economics.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-f45b1f825a2118ae33530f328a268bd0_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com (1-p)/p^2](https://blog-study-economics.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-4917103ec35416687bd639603e1ba8ea_l3.png)