確率分布（離散型）（１０） | 午後はカフェで経済学

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幾何分布（２）確率の和が1であることの確認

前回導入したように、幾何分布とは次のような分布です。

確率　 $(1-q)$ で0
確率 $q(1-q)$ で1
確率 $q^2(1-q)$ で2
確率 $q^3(1-q)$ で3
　　 $\vdots$
確率 $q^k(1-q)$ で $k$
　　 $\vdots$

確率分布で実現しうる値の集合を、その確率分布の「台 (support)」と言います。ベルヌーイ分布の台は $\{0,1\}$ ，二項分布の台は $\{0,1,2,\cdots, N\}$ でしたが、幾何分布の台は $\{0,1,2, 3, \cdots\}$ です。実現値に上限がなく、理論上どんな大きな整数も起こりうるのです。

ところで、確率は全て足したら1に等しくなければなりません。幾何分布の場合であれば

$\begin{eqnarray*}(1-q) + q(1-q) + q^2(1-q) + q^3(1-q) + \cdots = 1\end{eqnarray*}$

が成立していなければならないということになりますが、ちゃんと成立しているでしょうか。実は、 $q$ が0と1の間のどんな値であったとしてもこの式が成立することは、簡単に証明できます。というのも、「等比数列の無限和」の項で勉強した公式に

$\begin{eqnarray*}1 + q + q^2 + q^3 + \cdots = \frac{1}{1-q}\end{eqnarray*}$

というのがありました。両辺に $1-q$ をかければ、先ほどの式が導かれますね。

次回は幾何分布の期待値を計算します。

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