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ポアソン分布（３）期待値と分散


今回はポアソン分布の期待値を求め、分散についてコメントします。


まず期待値です。二項分布の期待値は Np でしたが、ポアソン分布の期待値は \lambda です。これは前回勉強した「二項分布とポアソン分布の関係」を知っていれば、うなずけることです。


証明もそれほど難しくありません。ポアソン分布にしたがう確率変数を X とおき、X の実現値が k となる確率を \mathbb{P}(X=k) と置くならば、以下の式が導けます（各イコールの説明は式のあと）。

    \begin{eqnarray*}E[X]&=& \sum^{\infty}_{k=0} k \cdot \mathbb{P}(X=k)\\&=& 0\cdot \left(\frac{\lambda^0e^{-\lambda}}{0!}\right) + 1\cdot \left(\frac{\lambda^1e^{-\lambda}}{1!}\right) + 2\cdot \left(\frac{\lambda^2e^{-\lambda}}{2!}\right) + 3\cdot \left(\frac{\lambda^3e^{-\lambda}}{3!}\right) + \cdots \\\\&=& \frac{\lambda^1e^{-\lambda}}{0!} + \frac{\lambda^2e^{-\lambda}}{1!} + \frac{\lambda^3e^{-\lambda}}{2!} + \cdots \\\\&=& \lambda\left\{ \frac{\lambda^0e^{-\lambda}}{0!} + \frac{\lambda^1e^{-\lambda}}{1!} + \frac{\lambda^2e^{-\lambda}}{2!} + \cdots \right\}\\\\&=& \lambda\end{eqnarray*}


１つ目のイコールは期待値の定義（“対応する実現値と確率を掛けたものの合計”）です。２つ目のイコールはポアソン分布の確率を代入しています。第１項はゼロなので無視し、約分を行ったのが３つ目のイコールです（0!=1!=1 に注意）。４つ目のイコールは全体を共通因数 \lambda でくくっています。最後のイコールは、確率を全て足したら１になるという事実を用いています（前々回の２つめの式）。これでポアソン分布の期待値は \lambda であることが証明されました。


ポアソン分布の例として「一日の間に起こる事故件数」や「やぶを５分間歩いたときに蚊に刺される回数」を挙げました。ポアソン分布を使うときは、蚊が全部で何匹いるか、車が全部で何台走っているかなどは気にする必要はありません。平均的にどれくらい起こるのかだけを調べて \lambda の値を設定します。「二日間に起こる事故件数」や「10分間歩いたときに刺される回数」のように、時間の長さが２倍になったら、\lambda も２倍にします。


次は分散ですが、実はポアソン分布では分散も \lambda になります。これは、「二項分布の分散は Np(1-p)」と「二項分布で Np=\lambda， p\rightarrow 0 とするとポアソン分布になる」を合わせれば、予想できることです。実際に \mbox{Var}[X] = E[X^2] - (E[X])^2 の公式を使って証明することもできます。すでに期待値は E[X]=\lambda と示したので、E[X^2] = \lambda + \lambda^2 を示せばいいわけです。証明は補論に記しておきますので、挑戦してみてください。


これでポアソン分布の基本は終わりです。次回は離散型の確率分布の５つ目、「負の二項分布」です。

>> 確率分布（離散型）（１６）負の二項分布


補論：ポアソン分布の E[X^2]

    \begin{eqnarray*}E[X^2]&=&\sum^{\infty}_{k=0} k^2\mathbb{P}(X=k)\\\\&=& 0^2\cdot \left(\frac{\lambda^0e^{-\lambda}}{0!}\right) + 1^2\cdot \left(\frac{\lambda^1e^{-\lambda}}{1!}\right) + 2^2\cdot \left(\frac{\lambda^2e^{-\lambda}}{2!}\right) + 3^2\cdot \left(\frac{\lambda^3e^{-\lambda}}{3!}\right) + \cdots \\\\&=& 1\cdot \left(\frac{\lambda^1e^{-\lambda}}{0!}\right) + 2\cdot\left(\frac{\lambda^2e^{-\lambda}}{1!}\right) + 3\cdot\left(\frac{\lambda^3e^{-\lambda}}{2!}\right) + \cdots \\\\&=& \lambda\left\{1\cdot \left(\frac{\lambda^0e^{-\lambda}}{0!}\right) + 2\cdot\left(\frac{\lambda^1e^{-\lambda}}{1!}\right) + 3\cdot\left(\frac{\lambda^2e^{-\lambda}}{2!}\right) + \cdots \right\}\\\\&=& \lambda \sum^{\infty}_{k=0} (k+1)\mathbb{P}(X=k)\\\\&=& \lambda \left(\sum^{\infty}_{k=0} k\mathbb{P}(X=k) + \sum^{\infty}_{k=0} \mathbb{P}(X=k)\right)\\\\&=& \lambda (E[X] + 1)\\\\&=& \lambda^2 + \lambda\end{eqnarray*}