確率分布（離散型）（９） | 午後はカフェで経済学

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幾何分布（１）

ここまで「ベルヌーイ分布」と「二項分布」を勉強しました。３つ目は「幾何(きか)分布 (geometric distribution)」です。

ガチャガチャを当たりが出るまで続けるとしましょう。一度でも当たりが出たらストップです。毎回「当たる確率は0.2，外れる確率は0.8」で変わらないと仮定します。外れが続いた後は当たりが出やすい、ということはありません。このとき、

・ちょうど0回外れる確率（＝1回目で当たる確率）は $0.2$
・ちょうど1回外れる確率（＝2回目で当たる確率）は $0.8 \times 0.2$
・ちょうど2回外れる確率（＝3回目で当たる確率）は $(0.8)^2 \times 0.2$

となります。外れが10回、100回と続く確率も、小さいですがゼロではありません。「幾何分布」は、「当たりが出るまでに何回外れるか」の確率を教えてくれます。(*注1)

一般的な設定で説明します。 $A$ と $A^c$ という２つの結果だけが起こる「ベルヌーイ試行」を考えてください。コイン投げやバスケのシュートなどです。 $A^c$ が起こるまで、試行を何度も繰り返すことを考えましょう。このとき、起こりうるシナリオは以下の図にまとめられます。左上からスタートし、 $A$ が起こっている間は水色の線を右下に進み続け、一度でも $A^c$ が起こったら黄色い線を右に進んで終わりです。 $A$ が起こる回数を $k$ で表すことにしましょう。

ここで、各試行では「確率 $q$ で $A$ ，確率 $1-q$ で $A^c$ 」とします。すると、各シナリオが起こる確率は以下の図のようになります。

図の通り、１回も $A$ が起こらない確率は $1-q$ ，ちょうど１回 $A$ が起こる確率は $q(1-q)$ ，ちょうど２回 $A$ が起こる確率は $q^2(1-q)$ ，・・・です。このように、幾何分布は「（ $A^c$ が起こるまでに起こる） $A$ の回数」と確率の関係を表します。

きちんと書き出せば、

確率　 $(1-q)$ で0
確率 $q(1-q)$ で1
確率 $q^2(1-q)$ で2
確率 $q^3(1-q)$ で3
　　 $\vdots$
確率 $q^k(1-q)$ で $k$
　　 $\vdots$
のようになります。これが幾何分布です。(*注2)

ところで、確率は全て足し合わせると1になります。次回はそれを確認したいと思います。

>> 確率分布（離散型）（１０）幾何分布（２）確率の和が１であることの確認

*注１)
反対に、「外れが出るまでに何回当たるか」も幾何分布です。

*注２)
幾何分布の定義の仕方には、最後の１回も数に含めるバージョンもあります。その場合は全てに１を足して

確率　 $(1-q)$ で1
確率 $q(1-q)$ で2
確率 $q^2(1-q)$ で3
確率 $q^3(1-q)$ で4
・・・
となります。この場合、期待値は１増えます。