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行列の積で表す１　連立一次方程式


中学校の数学では、「式の展開」の反対の操作として、「因数分解」を教わりました。「行列の積の計算」の反対の操作は、「行列の積で表す」ことです。


例えば

    \begin{eqnarray*} x + 2y\\ 3x + 4y \end{eqnarray*}


という２つの式は

    \begin{eqnarray*} \left( \begin{array}{cc} 1& 2 \\ 3 & 4 \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right) \end{eqnarray*}



と表せます。ということは、

    \begin{eqnarray*} \left\{ \begin{array}{rcc} x + 2y & = & 3 \\ 3x + 4y & = & 7 \end{array} \right. \end{eqnarray*}


という連立方程式は

    \begin{eqnarray*} \left( \begin{array}{cc} 1& 2 \\ 3 & 4 \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 3 \\ 7 \end{array} \right) \end{eqnarray*}


と書き表せます。これが、「行列の積で表す」ということです。


今度は、３変数 (x_1, x_2, x_3) の方程式を考えましょう。

    \begin{eqnarray*} \left\{ \begin{array}{ccc} a_{1,1}\; x_1 + a_{1,2} \; x_2 + a_{1,3} \; x_3 & = & b_1 \\ a_{2,1}\; x_1 + a_{2,2} \; x_2 + a_{2,3}\; x_3 & = & b_2 \\ a_{3,1} \; x_1 + a_{3,2} \; x_2 + a_{3,3} \; x_3 & = & b_3 \end{array} \right. \end{eqnarray*}


という連立方程式はどうでしょうか。これは

    \begin{eqnarray*}\left( \begin{array}{ccc} a_{1,1}& a_{1,2} & a_{1,3}\\ a_{2,1} & a_{2,2} & a_{2,3}\\ a_{3,1} & a_{3,2} & a_{3,3} \end{array} \right)\left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{array} \right)=\left( \begin{array}{c} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{array} \right)\end{eqnarray*}


と書けるので

    \begin{eqnarray*} A = \left( \begin{array}{ccc} a_{1,1}& a_{1,2} & a_{1,3}\\ a_{2,1} & a_{2,2} & a_{2,3}\\ a_{3,1} & a_{3,2} & a_{3,3} \end{array} \right), \hspace{5mm} x = \left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{array} \right), \hspace{5mm} b = \left( \begin{array}{c} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{array} \right) \end{eqnarray*}


とおけば、

    \begin{eqnarray*} Ax = b \end{eqnarray*}


と書けます。A は連立方程式の「係数行列」と呼ばれます。


連立一次方程式をこのように表したあと、大学の先生は「両辺の左から逆行列をかけると‥‥

    \begin{eqnarray*} x = A^{-1} b \end{eqnarray*}


‥‥はい、これで連立方程式が解けました」と言います。「いやいや、ちょっと待ってください、解けてないでしょ。A^{-1} を計算してないでしょ」とツッコミたくなるものですが、実際には、逆行列はエクセルなどの計算機ソフトで瞬時に求められるので、連立方程式は解けたとみなされます。（x^2 = 13 を x = \pm \sqrt{13} としただけで、方程式を解いたことになるのと同じです。）


次の連立一次方程式を、エクセルで解いてみましょう。

    \begin{eqnarray*} \left\{ \begin{array}{lcc} x_1 + x_2 + x_3 & = & 200 \\ x_1 + 2 x_2 + 3x_3 & = & 335 \\ 2x_1 -x_2 & = & 135 \end{array} \right. \end{eqnarray*}


まず係数行列 A と、右辺の数字を集めたベクトル b を、エクセル上に作ります。




そのうえで、x=A^{-1}b を計算します。A の逆行列には MINVERSE 関数を、これと b との積には MMULT 関数を使います。




確定はいつもどおり、Ctrl + Shift + Enter です。




答えは (x_1, x_2, x_3) = (100, 65, 35) です。この方法で、たとえ変数が100個あっても、連立一次方程式は一瞬にして解くことが可能です。


今回は連立１次式を行列の積で表しました。次回は２次式を行列で表してみたいと思います。

>> 行列の基本（１６）行列の積で表す２　二次形式