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単位行列


行の数と列の数が等しい行列を「正方行列 (Square matrix)」と言います。正方形の形をしているからです。


正方行列の左上から右下へ至る対角線上の成分を「対角成分 (diagonal components)」と言います。それ以外は「非対角成分 (off-diagonal components)」です。図で表すと、赤い所が対角成分、青い所が非対角成分です。




対角成分が全て１、非対角成分が全て０である正方行列を「単位行列 (Unit matrix)」と言います。例えば

    \begin{eqnarray*} \left( \begin{array}{cc} 1& 0\\ 0 & 1 \end{array} \right), \hspace{6mm} \left( \begin{array}{ccc} 1& 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right), \hspace{6mm} \left( \begin{array}{cccc} 1& 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right) \end{eqnarray*}


などがそうです。単位行列によく使われるアルファベットは I で、


    \begin{eqnarray*} I = \left( \begin{array}{ccc} 1& 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right) \end{eqnarray*}


などと表します。


単位行列は、行列の世界における、数字の「１」に相当します。というのは、いかなる行列に単位行列を掛けても、行列は変化しないからです。これを実際に確かめてみましょう。


例えば

    \begin{eqnarray*} \left( \begin{array}{cc} 1& 2\\ 3 & 4\\ 5 & 6 \end{array} \right) \left( \begin{array}{cc} 1& 0\\ 0 & 1 \end{array} \right) &=& \left( \begin{array}{cc} 1 \times 1 + 2 \times 0 & 1 \times 0 + 2 \times 1\\ 3\times 1 + 4\times 0 & 3\times 0 + 4\times 1\\ 5\times 1 + 6\times 0 & 5\times0 + 6\times 1 \end{array} \right)\\ \\&=& \left( \begin{array}{cc} 1& 2\\ 3 & 4\\ 5 & 6 \end{array} \right). \end{eqnarray*}


単位行列を掛ける前後で行列は変わっていませんね。同様に

    \begin{eqnarray*} \left( \begin{array}{ccc} 1& 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{cc} 1& 2\\ 3 & 4\\ 5 & 6 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{cc} 1& 2\\ 3 & 4\\ 5 & 6 \end{array} \right) \end{eqnarray*}


も確かめてみてください。


単位行列をベクトルにかけても同じです。

    \begin{eqnarray*} && \left( \begin{array}{ccc} 1& 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} x_1\\ x_2\\ x_3 \end{array} \right) \\ \\&=& \left( \begin{array}{c} 1x_1 + 0 x_2 + 0x_3\\ 0x_1 + 1x_2 + 0x_3\\ 0x_1 + 0x_2 + 1x_3 \end{array} \right)\\ \\&=& \left( \begin{array}{c} x_1\\ x_2\\ x_3 \end{array} \right). \end{eqnarray*}


ベクトルに変化はないことが確かめられます。


行列のかけ算と単位行列が理解できると、「逆行列」を学ぶことができます。次回から何回かにわたって、「逆行列」を勉強します。

>> 行列の基本（１１）逆行列１　逆行列の定義