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行列の転置
行列の転置 (Transpose) とは、行列の縦横をひっくり返すことです。例えば
であるとき、
![Rendered by QuickLaTeX.com A](https://blog-study-economics.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-7c472eb23904478dc94dd673e791751a_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com A^{\prime}](https://blog-study-economics.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-1000430e0e62a6e5e770331bbb944a21_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com A^t](https://blog-study-economics.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-1aa6b18ee163a9d73416a94da8af9098_l3.png)
を意味します。
![Rendered by QuickLaTeX.com t](https://blog-study-economics.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-a66666a62497e40b0a50dacd5c10b7c0_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com (i,j)](https://blog-study-economics.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-a66c0e4e8f36c7ff1eaed604d664e92a_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com (j,i)](https://blog-study-economics.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-63de19b3f972d5acf61fcc0b6a100a3e_l3.png)
転置によって、横ベクトルは縦ベクトルに、縦ベクトルは横ベクトルになります。文章中では、
![Rendered by QuickLaTeX.com x = \left( \begin{array}{c} 10\\ 20 \\ 30 \end{array} \right)](https://blog-study-economics.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-a4b527ecb6a45315f71eb7dfab15ce72_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com t](https://blog-study-economics.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-a66666a62497e40b0a50dacd5c10b7c0_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com x = (10, 20, 30)^t](https://blog-study-economics.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-e03e5e4c37d153d45736bbb9bde180e9_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com x^t = (10, 20, 30)](https://blog-study-economics.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-f372dafd28fd295881d309ba06871ca8_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com x](https://blog-study-economics.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-edea89885ee0f186f27ae02da4db506b_l3.png)
エクセルで行列を転置するときに使うのは、TRANSPOSE 関数です。転置したい行列の範囲を指定します。
![](https://blog-study-economics.com/wp-content/uploads/2021/01/diagram050_matrix_transpose01.png)
これも行列関数なので、確定のときは Ctrl + Shift + Enter を同時に押してください。
![](https://blog-study-economics.com/wp-content/uploads/2021/01/diagram050_matrix_transpose02.png)
行列の転置は縦横を逆転するだけで、これ自体は大したことはありません。しかし、行列のかけ算との兼ね合いで、大事な定理が1つあります。それは
というふうに、行列の積を計算してから転置したものと、それぞれの行列を転置したものを逆順にかけ算したものが、同じになるという定理です。(証明へ)
具体例を1つ見てみましょう。
のとき、
ですから、
です。一方、
![Rendered by QuickLaTeX.com V^t U^t](https://blog-study-economics.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-dbcf40db77083a367282f9ffc3ce279f_l3.png)
ですから、
![Rendered by QuickLaTeX.com (UV)^t = V^t U^t](https://blog-study-economics.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-f85022535f6ce219301200b2dc57e2cd_l3.png)
次回は「単位行列」という特別な行列を紹介します。
>> 行列の基本(10)単位行列
定理の証明:(戻る) を証明するには、
「 の第
成分 =
の第
成分」
となることを証明する。 の 第
成分
= の 第
成分
= の第
行 と
の第
列の内積
である。一方、 の第
成分
= の第
行と
の第
列の内積
= の第
列と
の第
行の内積
よって両者は等しいことを確かめられた。
2つの行列で成り立つならば、帰納的に3つ以上でも成立することが証明できる。すなわち、