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行列のかけ算３　AB


次は２つの行列のかけ算です。例として、次の２つの行列の積を考えましょう。

    \begin{eqnarray*} A= \left( \begin{array}{cc} a_{1,1}& a_{1,2}\\ a_{2,1} & a_{2,2}\\ a_{3,1} & a_{3,2} \end{array} \right) \end{eqnarray*}



    \begin{eqnarray*} B= \left( \begin{array}{ccc} b_{1,1}& b_{1,2} & b_{1,3}\\ b_{2,1} & b_{2,2} & b_{2,3}\end{array} \right) \end{eqnarray*}


まず、積ABです。

    \begin{eqnarray*} AB= \left( \begin{array}{cc} a_{1,1}& a_{1,2}\\ a_{2,1} & a_{2,2}\\ a_{3,1} & a_{3,2} \end{array} \right) \left( \begin{array}{ccc} b_{1,1}& b_{1,2} & b_{1,3}\\ b_{2,1} & b_{2,2} & b_{2,3}\end{array} \right) \end{eqnarray*}



先行する A は横に、後行の B は縦に切ります。



そして、Aから１行、Bから１列取ってきて、内積を求めます。例えば、A の１行目と B の１列目の内積は、第(1,1)成分に書き込みます。



A が３行、B が３列を有するので、3 \times 3 通りの組み合わせがあります。以下の数値例では、A の各行、B の各列を色分けして表示してあります。




この例では、A が３行、B が３列を有するので、AB のサイズは 3 \times 3 になりました。


つぎに、積BAを考えましょう。

    \begin{eqnarray*} BA= \left( \begin{array}{ccc} b_{1,1}& b_{1,2} & b_{1,3}\\ b_{2,1} & b_{2,2} & b_{2,3}\end{array} \right) \left( \begin{array}{cc} a_{1,1}& a_{1,2}\\ a_{2,1} & a_{2,2}\\ a_{3,1} & a_{3,2} \end{array} \right) \end{eqnarray*}


先行する B は横に、後行する A は縦に切ります。B は２行、A は２列あるので、内積の組み合わせは 2\times 2 通りあります。




かけ算の結果はサイズが 2\times 2 の行列となります。さっきと同じ数値例で BA を計算してみましょう。




AB と BA は結果が異なっていますね。行列のかけ算は、順番が変われば別物なのです。


エクセルによる計算は、動画に示しておきます。




「かけ算の順番をひっくり返すと答えが変わる」ことの確認も兼ねて、１つ例題をやってみましょう。

    \begin{eqnarray*} U &=& \left( \begin{array}{cc} 1& 10\\ 100 & 1000 \end{array} \right)\\\\ V &=& \left( \begin{array}{cc} 1& 2 \\ 3 & 4 \end{array} \right) \end{eqnarray*}



UV と VU をそれぞれ計算してください。先行する行列は横に区切り、後行する行列は縦に区切ることを忘れずに。

    \begin{eqnarray*} UV &=& \left( \begin{array}{cc} 1& 10\\ 100 & 1000 \end{array} \right) \left( \begin{array}{cc} 1& 2 \\ 3 & 4 \end{array} \right) \\\\ &=& \left( \begin{array}{cc} 1\times 1 + 10 \times 3 & 1 \times 2 + 10 \times 4 \\ 100\times 1 + 1000 \times 3 & 100 \times 2 + 1000 \times 4 \end{array} \right) \\ \\&=& \left( \begin{array}{cc} 31& 42\\ 3100 & 4200 \end{array} \right) \end{eqnarray*}



    \begin{eqnarray*} VU &=& \left( \begin{array}{cc} 1& 2 \\ 3 & 4 \end{array} \right) \left( \begin{array}{cc} 1& 10\\ 100 & 1000 \end{array} \right) \\ \\&=& \left( \begin{array}{cc} 1\times 1 + 2 \times 100 & 1 \times 10 + 2 \times 1000 \\ 3\times 1 + 4 \times 100 & 3 \times 10 + 4 \times 1000 \end{array} \right) \\\\ &=& \left( \begin{array}{cc} 201& 2010\\ 403 & 4030 \end{array} \right) \end{eqnarray*}


となります。


すでに気づいている人もいるかもしれませんが、行列のかけ算の結果が、どんなサイズの行列になるかは、もとの２つの行列のサイズによって決まります。次回はそれを整理したいと思います。

>> 行列の基本（７）行列のかけ算４　行列のサイズ