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モデルの解析解


方程式を解く際に、外生パラメータに具体的な数値を入れずに、一般的な文字のまま求めた解のことを「解析解」と言います。中学で習う「二次方程式の解の公式」が解析解の一例です。45度線モデルは連立一次方程式なので、解析解を求めることができます。


前回、式の数を最終的に２本にまで減らしました。産出Yと消費Cに関して


です。ここから解析解を求めるには、まず、１本目の式の消費Cに、２本目を代入してCを消去します。


それからYを左辺に集めます。



あとは両辺を1-c_1で割れば、産出Yが求まります。経済学では「解だ」ということを強調するために、よくアスタリスク(*)をつけるので、ここでもそうしておきます。c_1が0と1の間の数であるという仮定も思い出してください。


Cを求めるには、今求めたYを２本目の式に戻して整理するか、あるいは最初からCを消去する代わりにYを消去するのも手です。答えは


です。これで解析解(Y^*, C^*)が求まりました。右辺には外生パラメータしかないことを確認してください。


続いて、前回も出てきた比較静学をやってみましょう。政府が支出を\Delta Gだけ増やしたら（注：経済学では、xの変化分は\Delta xと記します）、均衡におけるYやCはどれだけ増えるでしょうか。先ほど求めた解を見ると分かります。Yの変化は、Gの変化の1/(1-c_1)倍ですし、Cの変化は、Gの変化のc_1/(1-c_1)倍ですね。（詳細はこちら）


では政府が税金を\Delta Tだけ増やしたらどうでしょうか。増税すると、この世界のGDPや消費は下がると思われますが、どれくらい下がるでしょうか。これも解を見れば分かります。Yの変化、Cの変化ともに、Tの変化の-c_1/(1-c_1)倍となるはずです。


これらの結果をまとめておきましょう。


たとえば、増税(\Delta T>0)するとGDPは減少(\Delta Y^*<0)することが分かります。逆に、減税した場合は\Delta Tはマイナスなので、GDPは増加します。これが、「前ばらし」のところで予告した、45度線モデルの１つめのメッセージです。


これらは結果だけ見ると「ふーん」で終わってしまいますが、実はここに、よく知られた45度線モデルの、よく知られていないメッセージが含まれています。次回はそれについてです。

>> GDPの45度線モデル（１０）「乗数効果」再検証