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モデル式の導出


これから「GDPの45度線分析モデル」に具体的に入っていきます。45度線モデルの世界が想定することは以下の４点です。


  1. 財やサービスは、消費者に消費されたり、企業の投資に使われたり、政府が使ったり、海外に輸出されたりする。
  2. 人々は、手取り収入が大きいほど、たくさん消費する。
  3. 生産は人々の所得となる。
  4. 需要を満たすべく生産量が決まる。



それぞれが１本の式で表されるので、45度線モデルは式４つの連立方程式となります。これから式を１つずつ導出しますが、文字がたくさん出てくるので、どの文字が何を表すのか、できるだけ頭に入れながら進んでください。


１つめの式
まずは一国で作られた財・サービスが使用される側、つまり「需要・支出」の内訳を表す式です。第2回で説明したとおり、需要Zの内訳は、「民間消費C」，「投資I」，「政府支出G」，そして「海外」の４つです。海外からの需要とは、要は海外に輸出される農産物や工業製品のことなのですが、より正確には、輸入される量を引いた「純輸出」で測ります。輸出をX、輸入をMで表すなら、X-Mです。こうして、日本で生み出された財やサービスに対する需要Zの内訳式は

(1)   \begin{eqnarray*} Z=C + I + G +X- M \end{eqnarray*}



となります。


２つめの式
45度線モデルでは、消費者は「手取り収入が高いほど、たくさん消費をする」と想定されます。具体的には、所得をIncome、税金 (Tax) をTとおいたとき、消費Cは税引後所得(Income-T)の１次関数として

(2)   \begin{eqnarray*} C= c_0 + c_1(Income - T) \end{eqnarray*}



で決まると仮定されます。c_0が直線の切片、c_1が傾きですね。税引後の所得(Income-T)は、家計が「消費するか、それとも貯蓄するか」を決められる量、という意味で「可処分所得」とも呼ばれます。所得と消費を結ぶこの関係式は「消費関数」と呼ばれています。


切片c_0は正の値を取ると仮定されます。また、傾きc_1は「限界消費性向 (marginal propensity to consume)」と呼ばれ、0と1の間の値を取ると仮定されます。例えばc_1が0.7であれば、所得が１万円増えたり、税金が１万円安くなったりしたときに、人々はそのうちの７割を消費に、残りを貯蓄に回すということです。このため、1-c_1の方は「貯蓄率」と解釈されます。


３つめの式
３つめは、この国の人々の所得が産出Yに等しいという式

(3)   \begin{eqnarray*} Income = Y \end{eqnarray*}



です。「新たに生み出された価値が、誰かしらの所得になる」という考え方は第3回でも紹介しました。


４つめの式
最後は、産出Yが、最初に出てきた需要Zと等しいという式

(4)   \begin{eqnarray*} Y = Z \end{eqnarray*}



です。需給を満たすように生産が決まるという仮定です。３つめの式と合わせると「所得＝産出＝需要」なので、GDPの三面等価が、45度線モデルの世界でも成立していることが分かります。


まとめると、45度線モデルは、４本の式の連立方程式となります。

    \begin{eqnarray*} \left\{ \begin{array}{rcl} Z&=&C + I + G +X- M\\ C&=& c_0 + c_1(Income - T)\\ Income&=&Y\\ Y&=&Z \end{array} \right. \end{eqnarray*}



このモデルの内生変数は(C, Y, Income, Z)の４つです。なお、内生変数と外生変数の区別が曖昧な人はこちらのコラムで勉強してください。「モデルを解く」とは、連立方程式を解いて、内生変数の値を求めることです。それ以外の変数c_0, c_1, T, I, G, X-Mは全て外生パラメータです。言い換えれば、この方程式は、税率や投資や政府支出がいくつになるのかは教えてくれません。それらの値を与えれば、消費やGDPがいくつになるかを予測して教えてくれるモデルなのです。


４本の式の意味は分かりましたか。次回は実際にこのモデルを解いてみましょう。

>> GDPの45度線モデル（８）モデルの数値例

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