社会選択論（９） | 午後はカフェで経済学

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練習問題

これまでの内容を理解するために、練習問題を解いてみましょう。以下の問題では数式は一切出てきませんが、定義に立ち返って厳密に考える論理的思考が要求されます。数学力を上げるため、しっかり練習してください。

問１（>> 解答）
「パレート性」の定義は何か。

問２（>> 解答）
「ボルダ・カウント」がパレート性を満たす方法であることを証明してください。

問３（>> 解答）
常にある特定のメンバーの選好に従う方法を「独裁」という。「独裁」がパレート性を満たすことを証明してください。

問４（>> 解答）
「無関係な選択肢からの独立」の定義は何か。

問５（>> 解答）
「独裁」というルールは、「無関係な選択肢からの独立」を満たすことを証明してください。

問６（>> 解答）
「五十音順」という固定順序は、「無関係な選択肢からの独立」を満たすことを説明してください。

問７（>> 解答）
「五十音順」という固定順序は、「パレート性」を満たさないことを、具体的な例を挙げて説明してください。

問８（>> 解答）
ボルダ・カウントが「無関係な選択肢からの独立」を満たさないことを、 $x$ ， $y$ ， $z$ という３つの選択肢を持つ二人（AさんとBさん）の例で示してください。

どうでしたか。問題を解きながら、「〇〇って何だっけ？」と何度も分からなくなった人は、訓練になっている証拠です。必ず定義を頭に入れて、１つ１つ理詰めで考えてください。

次回は、「固定順序」を改善して使えるかどうかを考えます。

>> 社会選択論（１０）「固定順序」を修正して使えるか

解答

問１　「パレート性」の定義は何か。

解答
メンバー全員が「BよりAが良い」と思っている場合、グループにとってもAの方が良い。また、メンバー全員が「AとBは無差別だ」という場合は、グループにとっても無差別。（本文に戻る）

問２　「ボルダ・カウント」がパレート性を満たす方法であることを証明してください。

解答
メンバー全員が「BよりAが良い」と思っているとする。このとき、メンバー全員がAを上位におくので、獲得ポイントはAの方が小さい。メンバー全員の点数を合計しても、やはりAの方が獲得ポイントが少ない。よって、ボルダ・カウントの下では、グループはAの方が良いと考える。したがって「メンバー全員が『BよりAが良い』と思っているとき、グループはAを優先する」ということなので、これはパレート性を満たしている。（本文に戻る）

問３　常にある特定のメンバーの選好に従う方法を「独裁」という。「独裁」がパレート性を満たすことを証明してください。

解答
メンバー全員が「BよりAが良い」と思っているとする。このとき、グループはBではなくAを選ぶことを確かめればよい。（パレート性の定義を参照。）
　今、メンバー全員がBよりAの方が良いと思っているということだから、そのうちの一人である独裁者（名前をX氏とする）もAの方が良いと思っていることになる。X氏の独裁のもとでは、グループはAを選ぶ。よって示された。（本文に戻る）

問４　「無関係な選択肢からの独立」の定義は何か。

解答
グループにとって選択肢AとBのどちらがいいか、それとも無差別かを判断する際、各メンバーに聞いていいのは「AとBどちらがいいか、それとも無差別か」だけ。そのほかの選択肢が絡んでくることは一切聞かない。（本文に戻る）

問５　「独裁」というルールは、「無関係な選択肢からの独立」を満たすことを証明してください。

解答
グループにとってAかBかを選ぶ際、独裁のもとでは独裁者にAとBどちらがいいかを聞く。その他の選択肢をどう思っているかの情報はいらない。だから「独裁」は「無関係な選択肢からの独立」を満たす。（本文に戻る）

問６　「五十音順」という固定順序は、「無関係な選択肢からの独立」を満たすことを説明してください。

解答
五十音順ルールのもとでは、カレーがラーメンよりも五十音順で先だから、グループはカレーを選ぶ。カレーとラーメンのどちらがいいかを判断する際に、各メンバーにその他の選択肢のことを一切聞く必要はない。（カレーとラーメンのどちらが好きかすら聞く必要もないが。）したがって、「五十音順ルール」は「無関係な選択肢からの独立」を満たす。（本文に戻る）

問７　「五十音順」という固定順序は、「パレート性」を満たさないことを、具体的な例を挙げて説明してください。

解答
メンバー全員がラーメンの方がいいと思っているときも、グループは五十音順にしたがってカレーを良しとする。これはパレート性の定義に反する。（本文に戻る）

問８　ボルダ・カウントが「無関係な選択肢からの独立」を満たさないことを、 $x$ ， $y$ ， $z$ という３つの選択肢を持つ二人（AさんとBさん）の例で示してください。

解答
AさんとBさんの二人が、 $x$ ， $y$ ， $z$ という３つの選択肢に直面しているとしよう。
ケース (i) では
Aさんの選好： $x\succ y \succ z$
Bさんの選好： $y\succ x \succ z$
であるとする。また
ケース(ii) では
Aさんの選好： $x\succ y \succ z$
Bさんの選好： $y\succ z \succ x$
であるとする。グループ (group) が $x$ と $y$ を比べる状況を考えよう。Aさんは $x$ の方が $y$ より良く、Bさんは $y$ の方が $x$ より良い、という状況はケース(i)，(ii)で変わらない。したがって、もし「無関係な選択肢からの独立」を満たすのであれば、どちらのケースでもグループの決定は同じになるはずである。
　ところがボルダ・カウントの下では、ケース(i)では $x$ と $y$ は３点タイ（ $x \sim_g y$ ）、ケース(ii)では４点 vs ３点で $y$ が選ばれる（ $y\succ_g x$ ）。これはボルダ・カウントが「無関係な選択肢からの独立」を満たす方法ではないことを意味する。（本文に戻る）