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タダ乗りゲームの混合戦略均衡３（“３人のうち２人”）


今回考えるタダ乗りゲームでは、３人のうち少なくとも２人が行動すれば目的が達成されて、３人とも恩恵を受けられます。例えば、王様がとんでもない法律を思いつき、これに対し３人の大臣のうち２人が反対しないと、国が大変なことになってしまうという状況です。この場合、行動するとは、王に嫌われるのを承知で、国民のために王に苦言を呈することです。


大臣たちの嬉しさは、法律が阻止できれば１、阻止できなければ０としましょう。また、前回同様、行動にはコスト c が伴います。前回と違うのは、１人だけ行動を起こしても何にもならず、コストの払い損になる、という点です。法案の廃止という「公共財」が供給されるためには、A, B, C３人の大臣のうち、最低２人の行動が必要です。


「Aは他人まかせ。BとCがいつも率先して行動する」という状況も十分あり得ますが、今日は３人それぞれが、確率 p で行動する混合戦略均衡を求めましょう。大臣Aの立場に立って、BとCが採用すべき確率 p を計算します。


まず、自分は行動しない場合です。公共財が供給されるのは、BとCが２人とも行動してくれる場合だけです。それぞれ確率 p で行動してくれるので、確率 p^2 で目的は達成され、大臣Aも恩恵１を得られます。そうでなければ恩恵は０なので、期待値は p^21 + (1-p^2)0=p^2 です。期待利得は p^2 となります。


一方、自分もコスト c を払って行動するならば、最低あと１人行動してくれれば、目的は達せられます。BとCは確率 1-p で行動しないので、少なくとも一方が行動してくれる確率は 1- (1-p)^2 で、このとき大臣Aは恩恵１を得られます。期待利得からコストを差し引くと、1 - (1-p)^2 -c です。


したがって大臣Aにとっての無差別性の条件は

    \begin{eqnarray*} p^2 = 1 - (1-p)^2 -c \end{eqnarray*}


であり、整理すると 2p^2 - 2p + c =0 です。これを解くと求める確率は

    \begin{eqnarray*} p^* = \frac{1 \pm \sqrt{1-2c}}{2} \end{eqnarray*}


となります。たとえば c=0.18 ならば p^*= 0.1，0.9 です。実はこの問題では、混合戦略均衡が２つ存在します。


一方の混合戦略均衡では、A，B，Cの３人とも、確率0.1でしか行動しません。「自分が法律に反対しなければ、おそらく法律は成立してしまうけど、自分が反対すれば、ひょっとして阻止できるかも。どうしようかなあ」という感じの、ちょっと悲観的な均衡です。


もう一方の混合戦略均衡では、A，B，Cの３人とも、確率0.9で行動します。「自分が反対すればほぼ確実だけれど、自分が反対しなくても大丈夫かも。どうしようかなあ」という感じの、楽観的な均衡です。


一般に、N \geq 3 人のプレーヤーがいるタダ乗りゲームでは、目的達成に必要な人数が 2人〜(N-1) 人の場合に、このように悲観的な均衡と楽観的な均衡の２つの混合戦略均衡が存在することが知られています。


次回は、１人でも行動してくれれば目的が達成される、というタダ乗りゲームに戻り、さらに掘り下げて分析したいと思います。

>> 混合戦略（１０）タダ乗りゲームの混合戦略均衡４（“N人のうち1人”）