混合戦略（８） | 午後はカフェで経済学

タダ乗りゲームの場合２（“３人のうち1人”）

今回はプレーヤーが３人のタダ乗りゲームで、混合戦略均衡を考えましょう。

前回の話を少し変えて、ルームメイトは３人いることにします。３人の名前は、ユーリー、一郎、アフマドです。前回と同様、誰か１人でもストーブを消しに戻れば、全員が恩恵１を得られるとします。１人が行動すれば十分で、２人以上が行動しても、恩恵は変わりません。もし誰も行動しなかった場合には、全員の恩恵が０です。行動した人にはコスト $c$ がかかるとします。

３人とも立場は同じなので、それぞれが同じ確率 $p$ で行動し、 $1-p$ で行動しない均衡を求めます。どの２人を選んでも同じなのですが、ここでは一郎とアフマドが採用する確率 $p$ を、ユーリーの無差別性の条件から計算してみましょう。

ユーリーが行動する場合
自分でやるのですから、ユーリーは確実に $1-c$ の利得を得ます。

ユーリーが行動しない場合
一郎とアフマドのうち少なくとも一方が行動してくれれば、ユーリーは恩恵を受けられます。２人とも行動してくれない確率は $(1-p)^2$ です。よって、ユーリーは $1 - (1-p)^2$ の確率で利得１を得ます。

２つの場合をふまえると、ユーリーの無差別性の条件は $1-c= 1 - (1-p)^2$ となります。これは $p$ に関する２次方程式です。解を $p^*$ と表すなら

$\begin{eqnarray*} p^* = 1 - \sqrt{c} \end{eqnarray*}$

です。一郎とアフマドがそれぞれこの確率で行動するというとき、ユーリーにとって行動することとしないことが無差別になります。

別の人の視点に立っても、まったく同じことが言えます。結果、ユーリー、一郎、アフマドがそれぞれ確率 $1 - \sqrt{c}$ で行動するというのが、このゲームの混合戦略均衡です。例えば仮にコストが $c=0.49$ なら $p^*= 0.3$ となり、この場合３人はそれぞれ30％の確率でストーブを消しに家に戻る、ということになります。

さて、今回は１人でも行動すれば公共財は供給され、みんなが恩恵を受けられるという設定でしたが、公共財の中には、最低２人行動しないと供給されない、というものもあります。次回はその場合を考えてみましょう。

>> 混合戦略（９）タダ乗りゲームの混合戦略均衡３（“３人のうち２人”）