マッチング・ペニーの場合１
前回は「混合戦略」とは何かを説明しました。じゃんけんで、「グー・チョキ・パーを３分の１ずつの確率で出す」というのはその一例です。
じゃんけんにおいて、ふたりが互いに「３つの手を等確率で出す」という戦略を採っている状態は、ゲーム理論が「混合戦略均衡（Mixed strategy equilibrium）」と呼ぶ状態の一例です。各人が、自分にとって「最良かつ無差別」な選択肢だけを混ぜた混合戦略をとっている状態のことです。一方的に戦略を変えても、勝率が上がるとか、得するとかいうことはありません。
この「混合戦略均衡」を、じゃんけん以外の例で見つけてみましょう。以下は一種のマッチング・ペニーです。A君とBさん、それぞれが１枚ずつコインを持っています。二人同時にコインを机の上に置き、２つのコインの表裏が合えばA君の勝ち、表裏が異なればBさんの勝ちです。A君は合わせたい、Bさんは合わせたくないということなので、A君を「追う側」、Bさんを「逃げる側」と呼ぶことができます。
例えば、勝った方は１千円もらえ、負けた方は何ももらえないという方式にしてみましょう。このときの混合戦略均衡は、A君もBさんも「おもてと裏を半々の確率で出す」というものです。これを正式に証明するには、いったい何を確かめればよいでしょうか。少し考えてみてください。
証明するには、おもてを出すことと裏を出すことが、ふたりにとって無差別であることを示さなければなりません。すなわち、
- （もしA君が「おもてと裏半々」で来るなら）Bさんにとっておもてと裏は無差別
- （もしBさんが「おもてと裏半々」で来るなら）A君にとっておもてと裏は無差別
の２つを確かめる必要があります。
まずは追う側のA君がおもてと裏を半々で出すとし、逃げる側のBさんの立場になって考えましょう。Bさんはこう考えます。もし自分がおもてを出せば、A君が裏を出したときだけ１千円もらえます。50％の確率で１千円もらえるので、期待値では500円です。一方、自分が裏を出せば、A君がおもてを出したときだけ１千円もらえるので、やはり期待値は500円です。すなわち、Bさんにとって、おもてと裏は無差別となっています。（利得の期待値を「期待利得」と言います。）
A君の立場から見ても同じことが言えます。Bさんがおもてと裏半々の確率でくるなら、A君にとっては、おもてを出しても裏を出しても、期待利得は500円なので、A君にとっておもてと裏は無差別です。おもてを出すのも裏を出すのも「最良かつ無差別」だとお互いに思っているので、「二人とも、半々の確率で出す」は混合戦略均衡であることが確認できました。
今回の例では「おもてと裏を等確率で出す」というのが混合戦略均衡になりましたが、いつも「等確率」が使われるとはかぎりません。条件が変われば、「20%の確率でおもて、80%の確率で裏を出す」というような混合戦略が均衡になることもあります。次回はそのような場合を考えてみましょう。
>> 混合戦略（４）マッチング・ペニー２