GDPの45度線モデル（１７） | 午後はカフェで経済学

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モデルを改良する練習

物理学に出てくるモデルと違い、経済学に出てくるモデルは、真理ではありません。あくまで、複雑な現実の一面だけに焦点を当てた、シミュレーション世界です。したがって、単純化されていることが経済学モデルの良さなのですが、使用目的にかんがみて不満足な点があると思われる場合は、モデルを少し複雑化します。連立方程式の一部を変更したり、新たに内生変数を付け加えて式の数を増やしたりするのです。

今回は、45度線モデルで、そのような「モデルの改良」をやってみましょう。その前に基本モデルの復習をしておくと、式は

でした。赤い文字が内生変数で、意味はYが産出、Incomeが所得、Zが需要、Cが消費でした。あとは外生変数で、Iが投資、Gが政府支出、Xが輸出、Mが輸入、Tが税金、 $c_1$ が消費関数の傾きで、 $c_0$ が切片でした。これらを出発点にいくつかの改良を試みますが、話を簡単にするため、ここからは輸出入の差はゼロ（ $X-M=0$ ）とみなします。

４つの例をやってみますが、いずれも連立方程式を改良するところまでしかやりません。経済学では「式を立てること（“モデル化”）」と「式を解くこと」は異なる能力とみなされます。式を解く方は、今日はやりません。

例１．投資の内生化

統計上、民間の投資（企業の投資＋家計の住宅投資）は一国のGDPの２割を占めます。したがって、投資 $I$ が外生というのは、やはりモデルとして物足りません。そこで $I$ を内生変数にしましょう。ただ、企業の投資がどう決まるかを式化するのは難しいので、ここでは家計の住宅投資だけを式化します。具体的には投資 $I$ が

$\begin{eqnarray*} I = d_0 + d_1(Income - T) \end{eqnarray*}$

と決まるとします。ここで、 $d_0$ は切片で、 $d_1$ は傾きです。 $d_1(Income - T)$ の部分が家計の所得に依存する住宅投資、 $d_0$ の部分が家計の所得に依存しない企業の設備投資です。この式が加わった結果、45度線モデルの連立方程式は

$\begin{eqnarray*}Z &=& C + I + G\\C &=& c_0 + c_1 (Income - T)\\ I &=& d_0 + d_1(Income - T)\\Income &=& Y\\Y &=& Z\end{eqnarray*}$

となります。これで $I$ が内生変数に加わりました。内生変数は $(Y, C, I, Income, Z)$ です。式の数と内生変数の数が、ともに５個で一致していることを確認してください。

例２．比例税

さて、基本の45度線モデルでは税金 $T$ は比例税ではありませんが、ここでは税金を税率 $t$ の所得税であると仮定してみましょう。つまり

$\begin{eqnarray*} T = t \times Income \end{eqnarray*}$

です。たとえば $t=0.2$ であれば、所得の２割を税金として徴収される社会です。このとき、税引き後所得は $(1-t)Income$ となります。よって45度線モデルの連立方程式は、 $T$ を消去してしまえば

$\begin{eqnarray*}Z &=& C + I + G\\C &=& c_0 + c_1 (1-t)Income\\ Income &=& Y\\Y &=& Z\end{eqnarray*}$

となります。内生変数は $(Y, C, Income, Z)$ の４個です。（もし最初の $T = t \times Income$ も入れて式を５本とするなら、 $T$ も内生変数に入ります。）これで、政府が税率 $t$ を下げた場合、どれくらい税収が下がるかを分析できます。所得税率を下げてもGDPが増えるなら、そこまで税収は減らないかもしれません。実際のところはどうなのか、シミュレーションできるモデルです。

例３．比例税で均衡財政

さて、先の比例税のモデルでは税率 $t$ は外生変数でしたが、今度は $t$ を内生変数に変えてみましょう。政府支出 $G$ は福祉や教育サービスなどのために確定していて変えようがなく、しかも法律で「政府は借金してはいけない」と定められている状況を考えてください。そうすると、政府は $G$ と同じだけの税収を集める必要があります。もはや税率 $t$ は任意に決められるパラメータではありません。所得税の税収が $G$ に等しくなるように、税率を決めなければならないのです。この場合45度線モデルの連立方程式は

$\begin{eqnarray*}Z &=& C + I + G\\C &=& c_0 + c_1 (1-t)Income\\ Income &=& Y\\Y &=& Z\\t \times Income &=& G\end{eqnarray*}$

となります。５つめの式が、均衡財政を要求する式です。内生変数は $(Z, C, Income, Y, t)$ の５つです。

例４．消費税

最後に、税金が税率 $t$ の消費税の場合を考えてみましょう。つまり $T = tC$ ということです。45度線モデルの連立方程式は

$\begin{eqnarray*}Z &=& C + I + G\\C &=& c_0 + c_1(Income - tC)\\ Income &=& Y\\Y &=& Z\end{eqnarray*}$

となります。内生変数は $(Z, C, Income, Y)$ の４つです。

どうでしたか。このように、ちょっとした改良で済む場合は、モデルを改良したうえで式を解き直したり、比較静学を行ったりします。

一方、モデルへの批判が、モデルをちょっと改良するだけでは対処できない場合は、全く新しいモデルを作らなければなりません。そこで私たちも、そろそろ45度線モデルを卒業し、もっといろいろなモデルを学んでいくことにしましょう。