和の記号シグマ（４） | 午後はカフェで経済学

今回は、２つのベクトルの内積の計算を、シグマを使って表してみましょう。今、 $a$ と $b$ は長さ $n$ のベクトルとします。すなわち

$\begin{eqnarray*}a = (a_1, a_2, \cdots, a_n)\end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*}b = (b_1, b_2, \cdots, b_n)\end{eqnarray*}$

です。このとき、 $a$ と $b$ の内積は

$\begin{eqnarray*}a_1b_1 + a_2b_2 + \cdots + a_nb_n\end{eqnarray*}$

でした。これをシグマで表すと、

$\begin{eqnarray*}\sum^n_{i=1} a_ib_i\end{eqnarray*}$

となります。

２つのベクトル $a$ と $b$ の内積は単に $ab$ と書いてしまうので、まとめると

$\begin{eqnarray*}ab &=& a_1b_1 + a_2b_2 + \cdots + a_nb_n\\\\&=& \sum^n_{i=1} a_ib_i\end{eqnarray*}$

となります。

次回からは、 $\sum_{i,j} x_{i,j}$ というように、添え字が２つ付いているケースを勉強します。

>> 和の記号シグマ（５）添え字が２つの場合