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添え字が２つの場合


今回から、x に添え字が２つ付いている例を見てみましょう。


仲良しな３人がいて、それぞれ「１」さん、「２」さん、「３」さんと呼ぶことにします。そして、x_{i,j} を「i さんがj さんに買ったクリスマス・プレゼントの費用」とします。たとえば x_{1,3} は、１さんが３さんに買ったプレゼントの費用です。


この場合、プレゼント費用の全体の合計は

    \begin{eqnarray*}\sum_{i,j} x_{i,j} \end{eqnarray*}


と書けます。「i も jも（１から３まで）ひと通り代入して足してね」という意味で、全て書き出せば

    \begin{eqnarray*}\sum_{i,j} x_{i,j} = x_{1,1} + x_{1,2} + x_{1,3} + x_{2,1} +x_{2,2} + x_{2,3} + x_{3,1} + x_{3,2} + x_{3,3}\end{eqnarray*}


ということです。ここで、x_{1,1} は、１さんが１さん自身に買ったプレゼントの値段です。


自分で自分に買ったプレゼントの費用は、合計費用には入れたくないという場合もあるでしょう。その場合は

    \begin{eqnarray*}\sum_{i\neq j} x_{i,j} \end{eqnarray*}


などと書きます。「i と j が等しくない場合をひと通り足す」という意味です。つまり

    \begin{eqnarray*}\sum_{i\neq j} x_{i,j} = x_{1,2} + x_{1,3} + x_{2,1} + x_{2,3} + x_{3,1} + x_{3,2} \end{eqnarray*}


です。


今度は、プレゼントの例はやめて、x_{i,j} が、「i さんと j さんが一緒に食事したときの費用」だとします。たとえば１さんと２さんが一緒に食事したときは3,000円、２さんと３さんのお出かけでは3,500円、３さんと１さんのディナーでは4,000円使ったとします。この場合、x_{1,2} と x_{2,1} は同じ3,000円のディナーを指しています。食事費用の総額を考えるときには、ダブルカウントしないように、i < jとなるペアに関してだけ足し合わせます。これは

    \begin{eqnarray*}\sum_{i < j} x_{i,j} \end{eqnarray*}


と書くことができます。意味は

    \begin{eqnarray*}\sum_{i < j} x_{i,j} &=& x_{1,2} + x_{1,3} + x_{2,3}\\&=&3,000 + 3,500 + 4,000 \\&=& 10,500\end{eqnarray*}


です。このように、和のシグマ表記は、何を足すのかが明確であれば、適宜柔軟に用いてよいのです。


次回は添え字が２つの場合を発展させていきます。

>> 和の記号シグマ（６）二重のシグマ　その１