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二重のシグマ　その１


今回は、和のシグマ記号が二重になっているケースを勉強していきます。


ある学校には１組と２組のふたクラスあり、それぞれ40人の生徒がいます。１組の40人のテストの点数を

    \begin{eqnarray*}x_{1,1}, x_{1,2}, \cdots, x_{1, 40}\end{eqnarray*}


と表しましょう。添字の１つめが組、２つめが出席番号です。２組の40人のテストの点数も同じように

    \begin{eqnarray*}x_{2,1}, x_{2,2}, \cdots, x_{2, 40}\end{eqnarray*}


と表します。２組なので、最初の添字が全て２となっています。１組の点数の合計はシグマを使って表すと、

    \begin{eqnarray*}\sum_{j=1}^{40} x_{1, j}\end{eqnarray*}


同様に、２組の点数合計は

    \begin{eqnarray*}\sum_{j=1}^{40} x_{2, j}\end{eqnarray*}


となります。したがって、１組・２組あわせた合計は

    \begin{eqnarray*}\sum_{j=1}^{40} x_{1, j} + \sum_{j=1}^{40} x_{2, j}\end{eqnarray*}


です。第１項が１組、第２項が２組です。ふた組だけの和ですが、これもシグマを使って表せば

    \begin{eqnarray*}\sum_{i=1}^2\left( \sum_{j=1}^{40} x_{i, j} \right)\end{eqnarray*}


となります。シグマ記号が二重になってびっくりした人もいるかもしれませんが、最後の式から１つ前の式に戻るのは難しくありません。シグマ記号の意味にしたがい、i=1 と i=2 を代入すれば、１つ前の式に戻ることが確認できます。


次回はこれを発展させて、シグマ記号が二重になるケースの理解を深めます。

>> 和の記号シグマ（７）二重のシグマ　その２