確率変数の「平・分・共・標・相」（６）

X+Yの平均・分散・標準偏差

最後に、ビール屋とアイスクリーム屋を両方とも経営した場合の「合計の売上げ」である $X+Y$ の平均、分散、標準偏差を求めてみましょう。次の表では、 $X$ の列、 $Y$ の列のあとに、合計の売上げの列を付け加えてあります。合計の売上げは、「残暑」「普通」「寒い」の順に170万円 (17 JMY)、110万円 (11 JMY)、70万円 (7 JMY)です。

X+Yの平均（期待値）
平均は

$\begin{eqnarray*}0.5 \times 17 \mbox{ (JMY)} + 0.3 \times 11 \mbox{ (JMY)}+ 0.2 \times 7 \mbox{ (JMY)}= 13.2 \mbox{~(JMY)}\end{eqnarray*}$

あるいは

$\begin{eqnarray*}\mu_X + \mu_Y = 6.6 \mbox{~(JMY)}+ 6.6 \mbox{~(JMY)}= 13.2 \mbox{~(JMY)}\end{eqnarray*}$

と求まります。 $X$ と $Y$ を足し合わせてから期待値を求めても、 $X$ と $Y$ の期待値をそれぞれ求めてから足し合わせても、結果は同じです。

X+Yの分散
$X+Y$ の分散の計算も、 $X$ と $Y$ それぞれの分散を計算したときと、同じ手順で計算します。その手順とは

・まず、各状態における実現値から平均を引いた値の列を書き加え、
・次に、それを２乗した列を書き加え、
・最後に、確率を使って加重平均を求める

です。それを実行したのが次の表です。これで分散Var $(X+Y)=16.36 \mbox{ (JMY)}^2$ が求まります。

X+Yの標準偏差
最後に、分散の平方根をとれば標準偏差 $\sigma_{X+Y}=4.04$ (JMY)となります。この標準偏差は、前々回に求めた、 $X$ と $Y$ それぞれの標準偏差を足しても出てきません。 $X$ の標準偏差と、 $Y$ の標準偏差を足しても、 $X+Y$ の標準偏差にはならないのです。ですが、その話は重要なので、「和の分散公式」のシリーズで改めて詳しく説明したいと思います。

これでこのシリーズはひとまず終わりです。次回からは、複数の確率変数があるときの、期待値や分散について勉強します。

>> 期待値の基本性質（１）期待値の外に出せるもの、出せないもの