等比数列の和（２） | 午後はカフェで経済学

前回は以下の式を導出しました。

初項 $a$ ，公比 $q$ の等比数列の第 $n$ 項までの和は

$\begin{eqnarray*} \frac{a(1 - q^{n})}{1-q}\end{eqnarray*}$

今日はこの公式を練習してみましょう。経済学やファイナンスでよく出てくる足し算に、以下のようなものがあります。

$\begin{eqnarray*}S = \frac{D}{1+i} + \frac{D}{(1+i)^2} + \frac{D}{(1+i)^3} +\cdots + \frac{D}{(1+i)^n} \end{eqnarray*}$

$D$ は毎年受け取るお金の額、 $i$ は割引率を表すのですが、今日は経済学的な解釈は知らなくても結構です。大事なのは、これが初項 $\frac{D}{1+i}$ ，公比 $\frac{1}{1+i}$ の等比数列の和であるということです。公式を当てはめると

$\begin{eqnarray*}S = \frac{1-\left(\frac{1}{1+i}\right)^n}{1-\left(\frac{1}{1+i}\right)}\cdot \frac{D}{1+i} \end{eqnarray*}$

となります。もう少しきれいに整理できますが、それはみなさんにお任せしましょう。

類題です。

$\begin{eqnarray*}S = D + \frac{D}{1+i} + \frac{D}{(1+i)^2} + \frac{D}{(1+i)^3} +\cdots + \frac{D}{(1+i)^{n-1}} \end{eqnarray*}$

これも等比数列の和です。こちらは初項は $D$ です。公比は先ほどと同じです。項の数も全部で $n$ 個で変わりありません。したがって和の公式に当てはめると

$\begin{eqnarray*}S = \frac{1-\left(\frac{1}{1+i}\right)^n}{1-\left(\frac{1}{1+i}\right)}\cdot D\end{eqnarray*}$

割引率 $i$ は、 $r$ と表すことも多いのですが、等比数列の公比もよく $r$ と表します。経済学を勉強している人は混乱しないように気をつけてください。

次回は $n=\infty$ の場合を説明します。

>> 等比数列の和（３）無限和の例