等比数列の和（１） | 午後はカフェで経済学

このシリーズでは、等比数列の和を勉強しましょう。第１・２回では「ｎ番目までの和」を勉強します。今日学ぶのは以下の２つの公式です。

第ｎ項までの和（初項が1の場合）

$\begin{eqnarray*} 1 + q + q^2 + \cdots + q^{n-1} = \frac{1 - q^n}{1-q}\end{eqnarray*}$

第ｎ項までの和（初項が a の場合）

$\begin{eqnarray*}a + aq + aq^2 + \cdots + aq^{n-1} = \frac{a(1 - q^{n})}{1-q}\end{eqnarray*}$

１つめの公式をしっかり導出できるようにしましょう。（１つめの公式の左辺と右辺をそれぞれ $a$ 倍すれば、２つめの公式になります。）

導出のしかたは２つあります。１つは、因数分解の公式

$\begin{eqnarray*}1 - x^n &=& (1-x)(1+x+x^2+\cdots + x^{n-1}) \end{eqnarray*}$

を使うことです（注1）。この公式の左右をひっくり返して両辺を $1-x$ で割れば

$\begin{eqnarray*}1+x+x^2+\cdots + x^{n-1} = \frac{1 - x^n}{1-x}\end{eqnarray*}$

あとは $x$ を $q$ に変えるだけで、冒頭の公式の出来上がりです。

もう１つの導出方法は、高校の教科書にも載っている方法です。この方法では、まず求める和を $S$ と置きます。そして、 $qS$ を求めます。

$\begin{eqnarray*}S &=& 1 + q + q^2 + \cdots + q^{n-1}\\qS &=& q + q^2 + \cdots + q^{n} \end{eqnarray*}$

２つの式を、辺々引き算すると

$\begin{eqnarray*}S - qS = 1 - q^{n}\end{eqnarray*}$

となります。左辺は $(1-q)S$ なので

$\begin{eqnarray*}S = \frac{1 - q^{n}}{1-q}\end{eqnarray*}$

と求まります。

この公式は丸暗記するのではなく、ぜひ導出のしかたも覚えてください。次回は経済学で頻繁に出てくる例を使って、この公式を練習してみましょう。

>> 等比数列の和（２）第ｎ項までの和（練習）

注1）
$n=2$ の場合は中学で教わる公式
$1 - x^2 = (1-x)(1+x)$

$n=3$ の場合は高校で教わる公式
$1 - x^3 = (1-x)(1+x+x^2)$

に対応します。ぜひ一般の $n$ の場合も覚えてください。