等比数列の和（４） | 午後はカフェで経済学

初項 $a$ , 公比 $q$ の無限に続く等比数列の和を $S_a$ とおくことにします。すなわち

$\begin{eqnarray*}S_a=a + aq + aq^2 + aq^3 + \cdots \end{eqnarray*}$

特に、初項が1の場合は $a=1$ より、

$\begin{eqnarray*}S_1=1 + q + q^2 + q^3 + \cdots \end{eqnarray*}$

$S_a$ は $S_1$ を $a$ 倍することで求まります。では $S_1$ はどう求めるかというと、ちょっとしたトリックを使います。

$\begin{eqnarray*}S_1 &=& 1 + q + q^2 + q^3 + \cdots \\S_1 &=& 1 + q(1+q + q^2 + \cdots )\\S_1 &=& 1 + qS_1\end{eqnarray*}$

このように、第２項以下を $q$ でくくると、右辺にも $S_1$ が現れます。したがって

$\begin{eqnarray*}S_1 - qS_1 &=& 1\\(1-q)S_1 &=& 1\\S_1 &=& \frac{1}{1-q}\end{eqnarray*}$

結果を公式として表しておきましょう。

等比数列の無限和の公式

$-1<q<1$ のとき

$\begin{eqnarray*}&&1 + q + q^2 + q^3 + \cdots = \frac{1}{1-q}\\&& a + aq + aq^2 + aq^3 + \cdots = \frac{a}{1-q}\end{eqnarray*}$

前回出てきた２つの例に当てはめてみましょう。１つめの例では $a=1/2$ ， $q=1/2$ ，２つめの例では $a=0.9$ ， $q=0.1$ でした。公式を使えば

$\begin{eqnarray*}&& \frac12 + \frac14 + \frac18 + \frac{1}{16} + \cdots = 1\\\\&&0.9999999999\cdots = 1\end{eqnarray*}$

と分かります。やってみてください。

どうでしたか。等比数列の無限和の公式は、ぜひ導出のトリックも覚えてくださいね。次回の演習問題では、経済学でよく登場する等比数列の無限和を求めてみましょう。

>> 等比数列の和（５）無限和を求める（練習）