オイラー数「e」（３） | 午後はカフェで経済学

連続複利

今日もまずは $e$ のだいたいの大きさ（ $e=2.71828\cdots$ ）を思い出してください。今日紹介する $e$ の２つめの性質は、ファイナンス理論や経済成長論で用いられるものです。それは数列

$\begin{eqnarray*}\left(1 + \frac{1}{n} \right)^n\end{eqnarray*}$

の「極限」になっているという性質です。すなわち、この式において $n$ の大きさを $1, 2, 3, 4, \cdots$ と大きくしていくと、どんどん $e$ の値に近づいていきます。次の表の１列目を見てください。

$\left(1 + \frac{1}{n} \right)^n$ の値は $n=1$ だと $2$ ですが、 $n=100$ だと $2.704$ 、 $n=1000$ だと $2.716$ と言った具合に、だんだん $e$ の値に近づくのです。これを極限 (limit)の記号を使って正式に書けば

$\begin{eqnarray*}\lim_{n\rightarrow \infty} \left(1 + \frac{1}{n} \right)^n = e\end{eqnarray*}$

で、これを $e$ の定義とする教科書も多く存在します。

この性質にも、関数のバージョンが存在します。それは

$\begin{eqnarray*}\lim_{n\rightarrow \infty} \left(1 + \frac{r}{n} \right)^n = e^r\end{eqnarray*}$

$r=0.05$ の場合が表の２列目に示されています。この式は、ファイナンス理論の「複利計算」を簡単にするために利用されています。

次回は $e$ の３つめの性質を紹介します。

>> オイラー数「e」（４）微分しても変化しない関数