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最大化（２変数・制約あり）


前回までは、制約条件の無い最適化問題を考えました。しかし、現実の最適化問題には、しばしば時間や予算などの制約があります。そこで今回は、制約条件つきの最大化問題をソルバーで解いてみましょう。


今回最大化する目的関数は、 f(x_1, x_2) = x_1^{0.25} x_2^{0.5} です。これを x_1，x_2 について最大化します。x_1 と x_2 はどちらも正の数であるとします。制約は、 50 x_1 + 25 x_2 \leq 100 という不等式にしましょう。この制約のせいで、x_1，x_2 を際限なく大きくすることはできません。


この問題を正式に書くと以下のようになります。maxの右側に、最大化したい目的関数を書きます。maxの下には x_1，x_2 と書いてありますが、これが「x_1，x_2 について最大化する」という意味です。また、制約は「s.t. 」に続けて書く決まりです。s.t. は subject to… （～の制約下で）の頭文字です。

    \begin{eqnarray*}&&\max_{x_1, x_2} \;\;\; x_1^{0.25} x_2^{0.5} \\&& \mbox{~s.t.~} 50 x_1 + 25 x_2 \leq 100\end{eqnarray*}


まずエクセルに式を入力します。x_1，x_2 の値を入れる場所はセルB1, B2とし、目的関数 x_1^{0.25} x_2^{0.5} をセルB3に入力しましょう。関数はセルB1とセルB2の式になります。



次に、制約式の左辺 50 x_1 + 25 x_2を、セルB4に入力します。


B1とB2に何も入力していないときは、両方とも０と見なされています。 x_1=x_2=0 なので、目的関数の値は０、制約式の左辺の値も０です。ためしにx_1=x_2=1 を入れてみると、目的関数の値は１になり、制約式の左辺の値は75になります。



「ためしに」と言いましたが、実はソルバー が解探しをするとき、セルB1, B2にあらかじめ入っている値（これを「初期値」といいます）しだいで解が見つかったり、見つからなかったりします。x_1=x_2=0 よりも x_1=x_2=1 としておいた方が、ソルバーで解が見つかりやすいので、セルB1とセルB2は１としておきましょう。ここまで準備ができたら、次にソルバー・ウィンドウを開きます。


１行目の「目的セルの設定」では、目的関数のあるセルB3を選びます。
２行目は、「最大値」を選びます。
３行目の「変数セルの変更」では、セルB1，B2を選びます。
今回はさらに、制約を追加します。制約を追加するため、「追加」をクリックしてください。以下のようなウィンドウが開きます。


制約式の左辺にはセルB4を選び、「小なりイコール」の不等号を選び、右辺には100と入力します。OKをクリックすれば、これで制約条件が追加されます。ソルバーの解決ボタンをクリックしましょう。




解が見つかりました。x_1=0.66666，x_2=2.66666 で、このとき制約式の左辺はちょうど100となり、不等式は等号成立しています。目的関数の値は1.4755で、これが最大値です。一連の流れは以下の動画でも確認できます。ちなみに、この例では制約式は１つでしたが、複数の制約を課すこともできます。


ソルバーが解を見つける能力は、エクセル, R, Matlabなど、ソフトウェアごとに違います。１つのソフトで複数種類のソルバーが使える場合は、ソルバーごとにも変わってきます。さらに、同じソルバーでも、初期値（出発地点）によって、解が見つけられたり、見つけられなかったりします。さきほどの例で言えば、B1＝B2＝0 でソルバーを使うと解が見つからないのですが、B1＝B2＝1 としてソルバーを使うと解が見つかるのです。解の近くから探し始めた方が見つかりやすく、遠くから探し始めると、見つかる前に時間切れになったりします。人間がしらみつぶしに物探しをする場合と似ていますね。


エクセルのソルバーは、経済学で簡単な最適化問題を解きたい時に使えるツールです。ぜひ自分でも使ってみてください。

動画：最大化（２変数・制約あり）