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「線型結合」の期待値


確率変数が X_1, X_2, X_3, \cdots というように複数あるとします。このとき、これらに係数をつけてから足したものを確率変数の「線型結合」と言います。例えば 3X_1 + 0.5X_2 - 10X_3 + 8X_4 のようなものです。（もし、Xどうしの積や２乗、つまり X_1X_3 や X_2^2 があったら、線型結合とは呼べません。）


確率変数の線型結合の期待値に関しては、次の定理が知られています。


ここでは確率変数につく「係数」を w_1, w_2, w_3, \cdots で表しています。先ほどの例は、w_1=3, w_2=0.5, w_3=-10, w_4=8 の場合で、

    \begin{eqnarray*}E[3X_1 + 0.5X_2 - 10X_3 + 8X_4] = 3E[X_1] + 0.5E[X_2] - 10E[X_3] + 8E[X_4]\end{eqnarray*}


となります。この定理は、個々の確率変数の期待値が分かれば、それらの線型結合の期待値も、自動的に分かることを表しています。


定理の式の右辺を、ベクトルの内積を使って表す方法も知っておいてください。まず、期待値はギリシア文字の \mu (ミュー) を使っても表すので、 \mu_1=E[X_1]，\mu_2 = E[X_2]，・・・と書いておきます。すると、上の定理より w_1X_1 + w_2X_2 + w_3X_3 + w_4 X_4 の期待値は、w_1\mu_1 +w_2 \mu_2 + w_3 \mu_3+ w_4\mu_4 と表せます。そこで今、ベクトルを２つ、

    \begin{eqnarray*}\mu &=& (\mu_1, \mu_2, \mu_3, \mu_4)\\w &=& (w_1, w_2, w_3, w_4)\end{eqnarray*}


と定義すれば、

    \begin{eqnarray*}\mu w = w_1\mu_1 +w_2 \mu_2 + w_3 \mu_3+ w_4\mu_4 \end{eqnarray*}


というふうに、内積で表されることになります。定理の意味は変わりません。書き表し方が変わっただけです。


この定理は、ファイナンスで、金融資産のポートフォリオの期待収益率を求めるのに応用されます。別の記事で紹介しますので、それも参照してこの公式のイメージを膨らませてくださいね。

>> 和の分散公式（１）