計算のしかた
簡単な数値例で相関係数を計算してみましょう。計算には標準偏差を使いますから、初めて聞く人は標準偏差についての過去のコラムを参照してください。
今４人の生徒の英語と数学の試験結果が、以下の表のようだったとします。英語の成績と数学の成績の相関係数を求めてみましょう。
相関係数を計算するための手順は４つです。
手順１：４人の平均点と標準偏差を、英語と数学それぞれについて計算する
手順２：各人、「英語の平均からのギャップ」と「数学の平均からのギャップ」を求める
手順３：各人、２つのギャップの積を求め、その積の４人の平均を計算する
手順４：最後に、数学の標準偏差と英語の標準偏差で割る
となります。まず４人の英語の平均は
点、標準偏差は計算方法は省略しますが、21.2点です。一方数学の平均は
点、標準偏差は18.6点です（手順１）。これらの数字は表にも載せておきました。
次に、４人それぞれの「平均点からのギャップ」は英語ではそれぞれ
点、数学ではそれぞれ
点です（手順２）。
したがって、英語の平均からのギャップと、数学の平均からのギャップの積は、Aさんが
, Bさんが
, Cさんは
, Dさんは
ですので、これの平均は
です（手順３）。
最後にこれを英語と数学それぞれの標準偏差で割って
となり、これが英語の成績と数学の成績の間の相関係数となります（手順４）。
0.71はそれなりの相関です。英語の能力と数学の能力の間にはそれなりの強さの正の相関があるという結果になりました。
理論的なポイントは、手順３で「数学の平均からのギャップ」と「英語の平均からのギャップ」の積を求めているところです。英語も数学も平均より高い人や、両方とも平均より低い人は、この積がプラスになります。一方、英語は平均を上回ったけど数学は平均を下回った、というような人は、この積がマイナスになります。したがって両教科ともできた人や、両方ともできなかった人が多いと、相関係数はプラスになり、片方の教科だけできた人が多いと、相関係数はマイナスになるのです。
手順４は、相関係数が魔法のように必ず1と
の間にぴたっと収まるための、最後の仕上げのような手順なのですが、そのからくりは省略します。
さて、上の例では英語と数学の２教科しかありませんでしたが、テストの教科数が３つ以上あったら、相関係数はどうなるのでしょうか。難しい話ではないのですが、次回はその話をしたいと思います。
>> 相関係数（３）変数が３つ以上あるときの相関係数